Značilnosti enakomernega trikotnika, formula in območje, izračun



A enakokračni trikotnik Gre za tri-stranski poligon, kjer imata dve enaki meritvi, tretja pa drugačno meritev. Ta zadnja stran se imenuje baza. Zaradi te značilnosti je dobila to ime, ki v grščini pomeni "enake noge".

Trikotniki so mnogokotniki, ki so po geometriji najenostavnejši, saj jih tvorijo tri strani, trije koti in tri točke. To so tiste, ki imajo najmanj število strani in kotov glede na druge poligone, vendar je njihova uporaba zelo obsežna.

Indeks

  • 1 Značilnosti enakokrakih trikotnikov
    • 1.1 Komponente
  • 2 Lastnosti
    • 2.1 Notranji koti
    • 2.2 Vsota strani
    • 2.3 Ustrezne strani
    • 2.4 Ustrezni koti
    • 2.5 Višina, mediana, simetrala in simetrala so sovpadajo
    • 2.6 Relativne višine
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter sovpadajo
  • 3 Kako izračunati obseg?
  • 4 Kako izračunati višino?
  • 5 Kako izračunati območje?
  • 6 Kako izračunati osnovo trikotnika?
  • 7 Vaje
    • 7.1 Prva vaja
    • 7.2 Druga vaja
    • 7.3 Tretja vaja
  • 8 Reference

Značilnosti enakokrakih trikotnikov

Enakokračni trikotnik je bil razvrščen po merilu njegovih strani kot parameter, ker sta dve njegovi strani skladni (imata enako dolžino).

Glede na amplitudo notranjih kotov so enakokračni trikotniki razvrščeni kot:

  • Pravokotni enakokračni trikotnik: dve njegovi strani sta enaki. Eden od njegovih kotov je enak (90. \ To) in drugi so isti (45o vsak od njih)
  • Trikotnik z enakomernim kotom: dve njegovi strani sta enaki. Eden od njegovih kotov je nejasen (> 90. \ To).
  • Enakokračni akutni kotni trikotnik: dve njegovi strani sta enaki. Vsi njegovi koti so ostri (< 90o), kjer sta dva enaka.

Komponente

  • Mediana: je črta, ki zapusti sredino ene strani in doseže nasprotni vrh. Tri mediane se strinjajo v točki, ki se imenuje centroid ali centroid.
  • Simetrala: je žarek, ki razdeli kot vsake tocke na dva kota enake velikosti. Zato je znana kot os simetrije in ta trikotnik ima samo eno.
  • Mediatrix: je segment pravokotno na stran trikotnika, ki izvira sredi tega. Obstajajo tri mediatices v trikotniku in se strinjajo v točki, imenovani circuncentro.
  • Višina: je linija, ki poteka od tocke do nasprotne strani, prav tako pravokotna na to stran. Vsi trikotniki imajo tri višine, ki sovpadajo v točki, imenovani orthocenter.

Lastnosti

Enakokračni trikotniki so definirani ali identificirani, ker imajo več lastnosti, ki jih predstavljajo, izhajajo iz izrekov, ki so jih predlagali veliki matematiki:

Notranji koti

Vsota notranjih kotov je vedno enaka 180o.

Vsota strani

Vsota ukrepov dveh strani mora biti vedno večja od mere tretje strani, a + b> c.

Ustrezne strani

Enakokraki trikotniki imajo dve strani z enakim merilom ali dolžino; to pomeni, da so skladni in tretja stran se razlikuje od teh.

Ustrezni koti

Enakokračni trikotniki so znani tudi kot trikotniki izo-kotov, ker imajo dva kota, ki imata enako merilo (kongruentno). Ti se nahajajo na dnu trikotnika, nasproti stranicam, ki imajo enako dolžino.

Zaradi tega je izrek, ki določa, da:

"Če ima trikotnik dve kongruentni strani, bodo tudi koti, ki so nasproti tem stranicam, skladni." Torej, če je trikotnik enakokraki, so koti njegovih podlag skladni.

Primer:

Naslednja slika prikazuje trikotnik ABC. S sledenjem simetrali od vozlišča kota B do osnove je trikotnik razdeljen na dva trikotnika, ki sta enaka BDA in BDC:

Tako je bil kot vozlišča B prav tako razdeljen na dva enaka kota. Simetrala je zdaj stran (BD), ki je skupna med tema dvema novima trikotnikoma, medtem ko sta stranici AB in BC skladne strani. Torej imaš primer strani skladnosti, kota, strani (LAL).

To kaže, da imajo koti tock A in C enako merilo, kot je tudi prikazano, da so trikotniki BDA in BDC skladni, da sta AD in DC strani tudi skladni..

Višina, mediana, simetrala in simetrala so sovpadajo

Črta, ki poteka od vozlišča nasproti osnove do sredine osnove enakokrakega trikotnika, je hkrati višina, sredina in simetrala, prav tako pa tudi simetrala glede na nasprotni kot baze..

Vsi ti segmenti se ujemajo v enem, ki jih predstavlja.

Primer:

Naslednja slika prikazuje trikotnik ABC s srednjo točko M, ki razdeli bazo na dva segmenta BM in CM.

Ko narišete odsek od točke M do nasprotne točke, po definiciji dobite srednjo vrednost AM, ki je relativna glede na točko A in stran BC..

Ker AM segment razdeli trikotnik ABC na dva enaka trikotnika AMB in AMC, pomeni, da bo vzeto stransko, kotno, stransko skladnost, zato bo AM tudi simetrala BÂC.

Zato bo simetrala vedno enaka mediani in obratno.

AM segment oblikuje kote, ki so enaki za trikotnike AMB in AMC; to pomeni, da so dopolnilni na tak način, da bo ukrep vsakega:

Med. (AMB) + med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o . 2

Med. (AMC) = 90o

Znano je, da so koti, ki jih AM segment glede na dno trikotnika tvorijo ravni, kar kaže, da je ta segment popolnoma pravokoten na osnovo..

Zato predstavlja višino in simetralo, saj vemo, da je M središče.

Zato ravna črta AM:

  • Predstavlja višino BC.
  • Srednje je.
  • Vsebuje ga mediatrica BC.
  • To je simetrala kota oglišča Â

Relativne višine

Višine, ki so glede na enake strani, imajo enako merilo.

Ker enakokračni trikotnik ima dve enaki strani, bosta tudi njuni dve višini enaki.

Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter sovpadajo

Ker sta višina, mediana, simetrala in simetrala glede na bazo istočasno predstavljeni z istim segmentom, bosta ortocenter, centrocentrični incenter in circumcenter kolinearni točki, torej bosta na isti liniji:

Kako izračunati obseg?

Obseg poligona se izračuna z vsoto strani.

Ker v tem primeru enakokraki trikotnik ima dve strani z istim merilom, se njegov obseg izračuna po naslednji formuli:

P = 2*(stran a) + (stran b).

Kako izračunati višino?

Višina je črta, ki je pravokotna na osnovo, razdeli trikotnik na dva enaka dela z razširitvijo na nasprotni vrh..

Višina predstavlja nasprotno nogo (a), polovico osnove (b / 2) do sosednje noge in "a" stran predstavlja hipotenuzo.

Z uporabo Pitagorejevega izreka lahko določite vrednost višine:

a2 + b2 = c2

Kje:

a2 = višina (h).

b2 = b / 2.

c2 = stran a.

Če te vrednosti nadomestimo s pitagorejskim izrekom in očistimo višino:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Če je poznan kot, ki ga tvorita skladna stran, se lahko višina izračuna po naslednji formuli:

Kako izračunati območje?

Območje trikotnikov se vedno izračuna z enako formulo, tako da bazo pomnožimo z višino in jo delimo z dvema:

Obstajajo primeri, ko so znane le meritve dveh strani trikotnika in kota med njimi. V tem primeru je za določitev območja potrebno uporabiti trigonometrična razmerja:

Kako izračunati osnovo trikotnika?

Ker enakokračni trikotnik ima dve enaki strani, za določitev vrednosti njegove osnove mora poznati vsaj merilo višine ali enega od njenih kotov..

Ker poznamo višino, uporabljamo Pitagorov izrek:

a2 + b2 = c2

Kje:

a2 = višina (h).

c2 = stran a.

b2 = b / 2, ni znano.

Očistili smo b2 formule in moramo:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Ker ta vrednost ustreza polovici osnove, jo je treba pomnožiti z dvema, da dobimo popolno merilo osnove enakokrakega trikotnika:

b = 2 * (. A2 - c2)

V primeru, da sta znani le njena enaka stran in kot med njimi, se uporabi trigonometrija, ki sledi črti od vozlišča do osnove, ki deli enakokraki trikotnik na dva pravokotna trikotnika..

Na ta način se polovica osnove izračuna z:

Možno je tudi, da je znana samo vrednost višine in kota vozlišča, ki je nasproti osnove. V tem primeru se lahko trigonometrija določi na podlagi:

Vaje

Prva vaja

Poiščite območje enakokrakega trikotnika ABC, vedoč, da dve njegovi strani merita 10 cm, tretja stran pa 12 cm..

Rešitev

Da bi našli območje trikotnika, je potrebno izračunati višino z uporabo formule območja, ki je povezano s Pitagorovim izrekom, saj vrednost kota, ki nastane med enakimi stranmi ni znana..

Imamo naslednje podatke enakokrakega trikotnika:

  • Enake strani (a) = 10 cm.
  • Osnova (b) = 12 cm.

Vrednosti v formuli se nadomestijo:

Druga vaja

Dolžina dveh enakih strani enakokrakega trikotnika meri 42 cm, združitev teh strani pa tvori kot 130o. Določite vrednost tretje strani, območje tega trikotnika in obseg.

Rešitev

V tem primeru so poznane meritve strani in kota med njimi.

Da bi poznali vrednost manjkajoče strani, to je osnovo tega trikotnika, je pravokotna na to črto, ki razdeli kot na dva enaka dela, enega za vsak pravokotni trikotnik, ki je oblikovan.

  • Enake strani (a) = 42 cm.
  • Kot (=) = 130o

Zdaj s trigonometrijo izračunamo vrednost polovice osnove, kar ustreza polovici hipotenuze:

Za izračun površine je treba poznati višino tega trikotnika, ki ga lahko izračunamo s trigonometrijo ali pitagorejskim izrekom, zdaj, ko je vrednost baze že določena..

Z trigonometrijo bo:

Območje je izračunano:

P = 2*(stran a) + (stran b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tretja vaja

Izračunajte notranje kote enakokrakega trikotnika, vedoč, da je kot osnove  = 55o

Rešitev

Za iskanje dveh manjkajočih kotov (Ô in Ô) je potrebno zapomniti dve lastnosti trikotnikov:

  • Vsota notranjih kotov vsakega trikotnika bo vedno = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • V enakokrakega trikotnika so koti osnove vedno skladni, to pomeni, da imajo enak ukrep, torej:

 = Ô

Ê = 55o

Za določitev vrednosti kota Ê, nadomestite vrednosti drugih kotov v prvem pravilu in počistite:

55o + 55o + 180 = 180 o

110 o + 180 = 180 o

180 = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Reference

  1. Álvarez, E. (2003). Elementi geometrije: s številnimi vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehnično risanje: zvezek dejavnosti.
  3. Angel, A. R. (2007). Osnovna algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Priročnik za inženirsko matematiko. Wolfram MathWorld.