Značilnosti trikotnika, formula in območja, izračun

A trikotnik Gre za tri-stranski poligon, kjer ima vsak drugačne meritve ali dolžine; zato je dobil ime skalen, kar v latinščini pomeni plezanje.

Trikotniki so poligoni, ki so po geometriji najenostavnejši, saj so sestavljeni iz treh strani, treh kotov in treh tock. V primeru skalnega trikotnika, ker ima vse različne strani, pomeni, da bodo tudi njegovi trije koti različni..

Indeks

• 1 Značilnosti razpršenih trikotnikov
  • 1.1 Komponente
• 2 Lastnosti
  • 2.1 Notranji koti
  • 2.2 Vsota strani
  • 2.3 Nedosledne strani
  • 2.4 Neprimerni koti
  • 2.5 Višina, mediana, simetrala in simetrala niso sovpadajo
  • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter niso naključni
  • 2.7 Relativne višine
• 3 Kako izračunati obseg?
• 4 Kako izračunati območje?
• 5 Kako izračunati višino?
• 6 Kako izračunati strani?
• 7 Vaje
  • 7.1 Prva vaja
  • 7.2 Druga vaja
  • 7.3 Tretja vaja
• 8 Reference

Značilnosti skalenskih trikotnikov

Trikotniki lestvice so preprosti poligoni, ker nobena od njihovih strani ali kotov nimajo enake mere, za razliko od enakokrakih in enakostraničnih trikotnikov.

Ker imajo vse njegove strani in koti različne meritve, se ti trikotniki štejejo za nepravilne konveksne poligone.

Glede na amplitudo notranjih kotov so skalenski trikotniki razvrščeni kot:

• Razmerje pravokotnega trikotnika: vse njegove strani so drugačne. Eden od njegovih kotov je enak (90. \ T^o), drugi pa so ostri in z različnimi ukrepi.
• Trikotnik z nejasnim kotom: vse njegove stranice so različne in eden od njegovih kotov je nejasen (> 90. \ t^o).
• Trikotnik z merilnim kotom: vse njegove strani so drugačne. Vsi njegovi koti so ostri (< 90^o), z različnimi ukrepi.

Druga značilnost skalnega trikotnika je, da zaradi neskladnosti njihovih strani in kotov nimajo osi simetrije.

Komponente

Mediana: je črta, ki zapusti sredino ene strani in doseže nasprotni vrh. Tri mediane se strinjajo v točki, ki se imenuje centroid ali centroid.

Simetrala: je žarek, ki razdeli vsak kot na dva kota enake velikosti. Simptomi trikotnika se ujemajo v točki, imenovani incentro.

Mediatrix: je segment pravokotno na stran trikotnika, ki izvira sredi tega. Obstajajo tri mediatrike v trikotniku in se ujemajo v točki, imenovani circumcenter.

Višina: je linija, ki poteka od tocke do nasprotne strani, prav tako pravokotna na to stran. Vsi trikotniki imajo tri višine, ki sovpadajo na točki, imenovani orthocenter.

Lastnosti

Trikotniki lestvice so definirani ali identificirani, ker imajo več lastnosti, ki jih predstavljajo, izhajajo iz izrekov, ki so jih predlagali veliki matematiki. To so:

Notranji koti

Vsota notranjih kotov je vedno enaka 180^o.

Vsota strani

Vsota ukrepov dveh strani mora biti vedno večja od mere tretje strani, a + b> c.

Nedosledne strani

Vse strani razpršenih trikotnikov imajo različne mere ali dolžine; to pomeni, da so neskladni.

Nespremenljivi koti

Ker so vse strani razpršenega trikotnika različne, bodo tudi njihovi koti različni. Vendar pa bo vsota notranjih kotov vedno enaka 180 °, v nekaterih primerih pa je lahko eden od njenih kotov nejasen ali enak, v drugih pa so vsi njeni koti akutni.

Višina, mediana, simetrala in simetrala niso sočasno

Tako kot vsak trikotnik ima skalen več segmentov ravnih črt, ki ga sestavljajo: višina, mediana, simetrala in simetrala.

Zaradi posebnosti njegovih strani, v tej vrsti trikotnika nobena od teh linij ne bo sovpadla v enem samem.

Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter niso naključni

Ker sta višina, mediana, simetrala in simetrala predstavljeni z različnimi segmenti ravnih črt, se v skalnem trikotniku na različnih točkah najdejo stičišča - orthocenter, centrocenter, incenter in circumcenter (ne sovpadajo).

Glede na to, ali je trikotnik akuten, pravokoten ali skalen, ima orthocenter različne lokacije:

a. Če je trikotnik akuten, bo ortocenter znotraj trikotnika.

b. Če je trikotnik pravokotnik, bo ortocenter sovpadal z vrhom ravne strani.

c. Če je trikotnik nejasen, bo ortocenter na zunanji strani trikotnika.

Relativne višine

Višine so glede na stranice.

V primeru skalenskega trikotnika bodo te višine imele različne meritve. Vsak trikotnik ima tri relativne višine in za izračunavanje je uporabljena formula Heron.

Kako izračunati obseg?

Obseg poligona se izračuna z vsoto strani.

Ker je v tem primeru razčlenjen trikotnik z vsemi stranicami z različnimi merami, bo njegov obseg:

P = stran a + stran b + stran c.

Kako izračunati območje?

Območje trikotnikov se vedno izračuna z enako formulo, tako da bazo pomnožimo z višino in jo delimo z dvema:

Območje = (osnova _* h). 2

V nekaterih primerih višina skalnega trikotnika ni znana, vendar obstaja formula, ki jo je predlagal matematik Heron, da bi izračunal območje, ki pozna merjenje treh strani trikotnika..

Kje:

• a, b in c predstavljajo stranice trikotnika.
• sp, ustreza semiperimetru trikotnika, tj. polovici oboda:

sp = (a + b + c). 2

V primeru, da imate samo meritev dveh strani trikotnika in kota, ki se tvori med njimi, se lahko površina izračuna z uporabo trigonometričnih razmerij. Torej morate:

Območje = (stran _* h). 2

Če je višina (h) rezultat ene strani s sinusom nasprotnega kota. Na primer, za vsako stran bo območje:

• Območje = (b _* c _* sen A) 2
• Območje = (a _* c _* sen B) 2.
• Območje = (a _* b _* sen C) 2

Kako izračunati višino?

Ker so vse strani razpršenega trikotnika različne, ni mogoče izračunati višine s Pitagorovim izrekom..

Iz formule Heron, ki temelji na meritvah treh strani trikotnika, je mogoče izračunati območje.

Višino lahko izbrišete iz splošne formule območja:

Stran se nadomesti z meritvijo strani a, b ali c.

Drugi način za izračun višine, kadar je znana vrednost enega od kotov, je uporaba trigonometričnih razmerij, kjer bo višina predstavljala nogo trikotnika..

Na primer, ko je znan nasprotni kot na višino, bo določen s sinusom:

Kako izračunati strani?

Če imate merilo dveh strani in nasproten kot, je mogoče določiti tretjo stran z uporabo izreka kosinusov..

Na primer, v trikotniku AB se nariše višina glede na segment AC. Tako je trikotnik razdeljen na dva pravokotna trikotnika.

Za izračun c-strani (segment AB) se za vsak trikotnik uporabi pitagorejski izrek:

• Za modri trikotnik morate:

c² = h² + m²

Kot m = b - n se nadomesti:

c² = h² + b² (b - n)²

c² = h² + b² - 2bn + n².

• Za rožnati trikotnik morate:

h² = a² - n²

Nadomešča se v prejšnji enačbi:

c² = a² - n² + b² - 2bn + n²

c² = a² + b² - 2 milijardi.

Vedo, da je n = a _* cos C, se nadomesti v prejšnji enačbi in dobimo vrednost strani c:

c² = a² + b² - 2b_* a _* cos C.

Po zakonu o kosinusih se lahko strani izračunajo kot:

• a² = b² + c² - 2b_* c _* cos A.
• b² = a² + c² - 2a_* c _* cos B.
• c² = a² + b² - 2b_* a _* cos C.

Obstajajo primeri, ko meritve strani trikotnika niso znane, ampak njihova višina in koti, ki se oblikujejo v tockah. Za določitev območja v teh primerih je potrebno uporabiti trigonometrična razmerja.

Poznavanje kota ene od njegovih tock je identificirano in uporabljen je ustrezen trigonometricni odnos:

Na primer, katetus AB bo nasproten za kot C, toda v bližini kota A. Glede na stranico ali kathetus, ki ustreza višini, je druga stran očiščena, da se pridobi vrednost tega..

Vaje

Prva vaja

Izračunajte površino in višino razporejenega trikotnika ABC, vedoč, da so njegove stranice:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Rešitev

Kot podatki so podane meritve treh strani trikotnika.

Ker nimate vrednosti višine, lahko določite območje z uporabo formule Heron.

Najprej se izračuna semiperimeter:

sp = (a + b + c). 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm). 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Zdaj se vrednosti v formuli Heron zamenjajo:

Če poznamo območje, lahko izračunamo relativno višino na b. Iz splošne formule, ki jo očistite, imate:

Območje = (stran _* h). 2

46, 47 cm² = (12 cm) _* h). 2

h = (2 _* 46,47 cm²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm² Cm 12 cm

h = 7,75 cm.

Druga vaja

Glede na razpršeni trikotnik ABC, katerega ukrepi so:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Na tocki B se tvori kot 50 °. Izračunajte relativno višino na stran c, obseg in območje tega trikotnika.

Rešitev

V tem primeru imate ukrepe na obeh straneh. Za določitev višine je potrebno izračunati meritev tretje strani.

Ker je podan kot, ki je nasproti danim stranicam, je mogoče uporabiti zakon kosinusov za določitev meritve strani AC (b):

b² = a² + c² - 2a_*c _* cos B

Kje:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50^o.

Podatki se zamenjajo:

b² = (15)² + (25)² - 2_*(15)_*(25) _* cos 50

b² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b² = (225) + (625) - (482.025)

b² = 367,985

b = 367.985

b = 19,18 m.

Ker že imate vrednost treh strani, izračunajte obseg tega trikotnika:

P = stran a + stran b + stran c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Zdaj je mogoče določiti območje z uporabo Heronove formule, vendar je treba najprej izračunati semiperimeter:

sp = P. 2

sp = 59,18 m. 2

sp = 29,59 m.

Meritve na straneh in semiperimeter se zamenjajo v Heron formuli:

Nazadnje, če poznamo območje, lahko izračunamo relativno višino na strani c. Iz splošne formule, ki jo počistite, morate:

Območje = (stran _* h). 2

143,63 m² = (25 m _* h). 2

h = (2 _* 143,63 m²) M 25 m

h = 287,3 m² M 25 m

h = 11,5 m.

Tretja vaja

V skalnem trikotniku ABC stran b meri 40 cm, stran c meri 22 cm, v vozlišču A pa nastane kot 90 °.^o. Izračunajte površino tega trikotnika.

Rešitev

V tem primeru so podane meritve dveh strani skalnega trikotnika ABC, kot tudi kot, ki se oblikuje v vozlišču A.

Za določitev območja ni potrebno izračunati mere strani a, ker se skozi trigonometrične razmerje uporablja kot, da ga najdemo.

Ker je poznan nasprotni kot glede na višino, bo to določeno z izdelkom na eni strani in sinusom kota.

Če zamenjate formulo območja, morate:

• Območje = (stran _* h). 2
• h = c _* sen A

Območje = (b _* c _* sen A) 2

Območje = (40 cm _* 22 cm _* sen 90) 2

Območje = (40 cm _* 22 cm _* 1) 2

Površina = 880 cm² . 2

Površina = 440 cm².

Reference

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehnično risanje: zvezek dejavnosti.
2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrije Tehnologija CR, .
3. Angel, A. R. (2007). Osnovna algebra Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
5. Barbosa, J.L. (2006). Ravna euklidska geometrija. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije Mehika: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Osnovna geometrija za študente. Učenje Cengage.
8. Harpe, P. d. (2000). Teme v geometrični teoriji skupin. University of Chicago Press.