Značilnosti, lastnosti, formule in območje enakovrednega trikotnika



A enakostranični trikotnik je poligon s tremi stranicami, kjer so vsi enaki; to pomeni, da imajo isti ukrep. Za to značilnost je dobil ime enakostranični (enake strani).

Trikotniki so poligoni, ki so po geometriji najenostavnejši, saj so sestavljeni iz treh strani, treh kotov in treh tock. V primeru enakostraničnega trikotnika, ki ima enake strani, pomeni, da bodo tudi njegovi trije koti.

Indeks

  • 1 Značilnosti enakostraničnih trikotnikov
    • 1.1 Enake strani
    • 1.2 Sestavni deli
  • 2 Lastnosti
    • 2.1 Notranji koti
    • 2.2 Zunanji koti
    • 2.3 Vsota strani
    • 2.4 Ustrezne strani
    • 2.5 Ustrezni koti
    • 2.6 Simetralno središče, mediana in mediatrika se sovpadata
    • 2.7 Simetrale in višine se ujemata
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter sovpadajo
  • 3 Kako izračunati obseg?
  • 4 Kako izračunati višino?
  • 5 Kako izračunati strani?
  • 6 Kako izračunati območje?
  • 7 Vaje
    • 7.1 Prva vaja
    • 7.2 Druga vaja
    • 7.3 Tretja vaja
  • 8 Reference

Značilnosti enakostraničnih trikotnikov

Enake strani

Enakostranični trikotniki so ravne in zaprte figure, sestavljene iz treh segmentov ravnih črt. Trikotniki so razvrščeni po lastnostih, glede na njihove strani in kote; enakostranični je bil razvrščen po merilu njegovih strani kot parameter, saj so popolnoma enaki, to pomeni, da so skladni.

Enakostranični trikotnik je poseben primer enakokrakega trikotnika, ker sta dve njegovi strani skladni. Zato so vsi enakostranični trikotniki tudi enakokračni, vendar vsi enakokračni trikotniki ne bodo enakostranski.

Na ta način imajo enakostranični trikotniki enake lastnosti enakokrakega trikotnika.

Enakostranski trikotniki lahko razvrstimo tudi po amplitudi njihovih notranjih kotov kot enakostranični kotni trikotnik, ki ima tri strani in tri notranje kote z istim merilom. Koti bodo ostri, to pomeni, da bodo manj kot 90o.

Komponente

Trikotniki imajo na splošno več linij in točk, ki ga sestavljajo. Uporabljajo se za izračun površine, stranic, kotov, mediane, simetrale, pravokotnice in višine.

  • Mediana: je črta, ki zapusti sredino ene strani in doseže nasprotni vrh. Tri mediane se strinjajo v točki, ki se imenuje centroid ali centroid.
  • Simetrala: je žarek, ki deli tocke na dva kota enake velikosti, zato je znan kot os simetrije. Enakostranični trikotnik ima tri osi simetrije.

V enakostraničnem trikotniku je simetrala potegnjena iz vozlišča kota na nasprotno stran, pri čemer se razcepi na sredini. Ti se ujemajo v točki, ki se imenuje incentro.

  • Mediatrix: je segment pravokotno na stran trikotnika, ki izvira sredi tega. Obstajajo tri mediatices v trikotniku in se strinjajo v točki, imenovani circuncentro.
  • Višina: je linija, ki poteka od tocke do nasprotne strani, prav tako pravokotna na to stran. Vsi trikotniki imajo tri višine, ki sovpadajo na točki, imenovani orthocenter.

Lastnosti

Glavno lastnost enakostraničnih trikotnikov je, da bodo vedno enakokračni trikotniki, ker so enakokračni tvorjeni z dvema skladnima stranema in enakostranskima s tremi.

Na ta način so enakostranični trikotniki podedovali vse lastnosti enakokrakega trikotnika:

Notranji koti

Vsota notranjih kotov je vedno enaka 180o, in ker so vsi njegovi koti skladni, bo vsak od njih meril 60o.

Zunanji koti

Vsota zunanjih kotov bo vedno enaka 360o, zato bo vsak zunanji kot meril 120o. To je zato, ker so notranji in zunanji koti dopolnilni, to pomeni, da bo njihovo dodajanje vedno enako 180o.

Vsota strani

Vsota ukrepov obeh strani mora biti vedno večja od mere tretje strani, tj. A + b> c, kjer so a, b in c meritve vsake strani..

Ustrezne strani

Enako stranski trikotniki imajo svoje tri strani z enakim merilom ali dolžino; to pomeni, da so skladni. Zato v prejšnji točki imamo a = b = c.

Ustrezni koti

Enakostranski trikotniki so znani tudi kot enakokotni trikotniki, ker so njihovi trije notranji koti skladni drug z drugim. To je zato, ker imajo vse strani enako merilo.

Simetrala, mediana in mediatrika se nahajata

Simetrala deli trikotnik na dva dela. V enakostraničnih trikotnikih bo ta stran razdeljena na dva natančno enaka dela, tj. Trikotnik bo razdeljen na dva ustrezna desna trikotnika..

Tako simetrala iz katerega koli kota enakostraničnega trikotnika sovpada s srednjo in simetralo nasprotne strani tega kota..

Primer:

Naslednja slika prikazuje trikotnik ABC s središčem D, ki eno stranico deli na dva segmenta AD in BD.

Ko narišemo črto od točke D do nasprotne točke, po definiciji dobimo mediano CD, ki je relativna glede na tocko C in stran AB.

Ker segment CD deli trikotnik ABC na dva trikotnika, ki sta enaka CDB in CDA, pomeni, da bomo imeli primer skladnosti: stranski, kotni, stranski, zato bo CD tudi simetrala BCD..

Pri risanju segmenta CD-ja razdelite kot oglišča na dva enaka kota 30o, kot vozlišča A še naprej meri 60o in ravno CD oblikuje kot 90o glede na srednjo točko D.

V segmentu CD nastanejo koti, ki imajo enake meritve za trikotnike ADC in BDC, kar pomeni, da so dopolnilni na tak način, da bodo meritve vsakega:

Med. (ADB) + med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o . 2

Med. (ADC) = 90o.

In tako imate, da je CD segment tudi simetrala AB strani.

Simetrale in višine se ujemata

Ko potegnete simetralo iz vozlišča kota na sredino nasprotne strani, razdeli enakostranični trikotnik na dva ustrezna trikotnika.

Na tak način, da se oblikuje kot 90 °o (naravnost). To pomeni, da je ta odsek popolnoma pravokoten na to stran in po definiciji bi bila višina.

Na ta način simetrala poljubnega kota enakostraničnega trikotnika sovpada z relativno višino na nasprotni strani tega kota..

Orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter sovpadajo

Ker je višina, mediana, simetrala in simetrala istočasno predstavljena z istim segmentom, bodo v enakostranskem trikotniku točke tega segmenta - orthocenter, barycenter, incenter in circumcenter-, v isti točki:

Kako izračunati obseg?

Obseg poligona se izračuna z vsoto strani. Ker v tem primeru enakostranični trikotnik ima vse svoje strani z istim merilom, se njegov obseg izračuna po naslednji formuli:

P = 3 * strani.

Kako izračunati višino?

Ker je višina črta, ki je pravokotna na osnovo, jo deli z dvema enakima deloma tako, da se razprostira na nasprotni vrh. Tako se tvorita dva enaka pravokotna trikotnika.

Višina (h) predstavlja nasprotno stran (a), polovica strani AC do sosednje strani (b) in stran BC predstavlja hipotenuzo (c)..

Z uporabo Pitagorejevega izreka lahko določite vrednost višine:

a2 + b2= c2

Kje:

a2 = višina (h).

b2 = stran b / 2.

c2 = stran a.

Če te vrednosti nadomestimo s pitagorejskim izrekom in očistimo višino:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Če je poznan kot, ki ga tvorita skladna stran, se lahko višina (ki jo predstavlja noga) izračuna z uporabo trigonometričnih razmerij.

Noge se imenujejo nasproti ali sosednje, odvisno od kota, ki se upošteva kot referenca.

Na primer, v prejšnji sliki bo kathetus h nasproten za kot C, vendar ob boku B:

Tako lahko višino izračunamo z:

Kako izračunati strani?

Obstajajo primeri, ko meritve strani trikotnika niso znane, vendar je njihova višina in koti, ki se oblikujejo v tockih..

Za določitev območja v teh primerih je potrebno uporabiti trigonometrična razmerja.

Poznavanje kota ene od njegovih tock je identificirano in uporabljen je ustrezen trigonometricni odnos:

Tako bo noga AB nasprotna za kot C, toda v bližini kota A. Glede na stranico ali nogo, ki ustreza višini, je druga stran očiščena, da pridobi vrednost tega, vedoč, da v enakostraničnem trikotniku trije strani bodo vedno enake velikosti.

Kako izračunati območje?

Območje trikotnikov se vedno izračuna z enako formulo, tako da bazo pomnožimo z višino in jo delimo z dvema:

Območje = (b * h). 2

Vedo, da je višina podana s formulo:

Vaje

Prva vaja

Strani enakostraničnega trikotnika ABC merimo vsak po 20 cm. Izračunajte višino in območje tega poligona.

Rešitev

Da bi določili območje tega enakostraničnega trikotnika, je potrebno izračunati višino, vedoč, da pri risanju razdeli trikotnik na dva enaka pravokotna trikotnika..

Na ta način lahko uporabimo Pitagorejski izrek, da ga najdemo:

a2 + b2= c2

Kje:

a = 20/2 = 10 cm.

b = višina.

c = 20 cm.

Podatki v izreku se zamenjajo:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

To pomeni, da je višina trikotnika enaka 17,32 cm. Zdaj je možno izračunati površino danega trikotnika z zamenjavo v formuli:

Območje = (b * h). 2

Površina = (20 cm) * 17,32 cm) 2

Površina = 346,40 cm2 . 2

Površina = 173,20 cm2.

Drug enostavnejši način za reševanje vaje je zamenjava podatkov v direktni formuli območja, kjer je vrednost višine tudi implicitno:

Druga vaja

V zemlji, ki ima enakostranični trikotni obliko, bodo posajene cvetje. Če je območje tega zemljišča enako 450 m, izračunajte število kvadratnih metrov, ki jih zasedajo cvetovi.

Rešitev

Če vemo, da je obod trikotnika v skladu z vsoto treh strani in da ima teren obliko enakostraničnega trikotnika, bodo tri strani tega trikotnika enake mere ali dolžine:

P = stran + stran + stran = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Sedaj je potrebno samo izračunati višino tega trikotnika.

Višina deli trikotnik na dva ustrezna pravokotna trikotnika, pri čemer ena od nog predstavlja višino in drugo polovico osnove. Po Pitagorejevem izreku lahko določimo višino:

a2 + b2= c2

Kje:

a = 150 m 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = višina

Podatki v izreku se zamenjajo:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16,875 m

b = 16.875 m

b = 129,90 m.

Tako bo območje, ki bo zasedlo rože:

Površina = b * h ÷ 2

Območje = (150 m * 129,9 m) 2

Območje = (19.485 m2) ÷ 2

Površina = 9.742,5 m2

Tretja vaja

Enakostranični trikotnik ABC je razdeljen z odsekom črte, ki poteka od njegove tocke C do sredine D, ki se nahaja na nasprotni strani (AB). Ta segment meri 62 metrov. Izračunajte območje in obseg tega enakostraničnega trikotnika.

Rešitev

Ker vemo, da je enakostranični trikotnik deljen z odsekom črte, ki ustreza višini, s čimer tvorimo dva ustrezna pravokotna trikotnika, to prav tako razdeli kot vozlišča C v dva kota z istim merilom.o vsak.

Višina tvori kot 90o glede na segment AB in kot oglišča A bo nato meril 60o.

Potem kot referenčni kot 30o, višina CD je določena kot noga, ki meji na kot in BC kot hipotenuza.

Iz teh podatkov lahko določimo vrednost ene strani trikotnika s pomočjo trigonometričnih razmerij:

Ker so v enakostraničnem trikotniku vse strani popolnoma enake mere ali dolžine, to pomeni, da je vsaka stran enakostraničnega trikotnika ABC enaka 71,6 metra. Ker to veste, je mogoče določiti vaše območje:

Površina = b * h ÷ 2

Območje = (71,6 m * 62 m) 2

Območje = 4.438,6 m2 . 2

Površina = 2.219,3 m2

Obod je podan z vsoto treh njegovih strani:

P = stran + stran + stran = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Reference

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehnično risanje: zvezek dejavnosti.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Ravna euklidska geometrija. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometrija Transformacijski pristop. ZDA: bratje Laidlaw.
  6. Euclid, R.P. (1886). Euclidovi elementi geometrije.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometrija in trigonometrija.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrirana geometrija Metropolitanski tehnološki inštitut.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija Pearson Education.