Trinomial Oblika x ^ 2 + bx + c (s primeri)



Preden se naučite reševati trinomen oblike x ^ 2 + bx + c, in še preden poznamo pojem trinoma, je pomembno poznati dva bistvena pojma; namreč, koncepti monomialnega in polinomskega. Monomial je izraz tipa a * xn, kjer je a racionalno število, je n naravno število in x spremenljivka.

Polinom je linearna kombinacija monomialov oblike an* xn+an-1* xn-1+... + a2* x2+a1* x + a0, kjer je vsaki, z i = 0, ..., n je racionalno število, n je naravno število in a_n ni nič. V tem primeru velja, da je stopnja polinoma n.

Polinom, ki ga tvori vsota dveh izrazov (dveh monomov) različnih stopenj, je znan kot binom.

Indeks

  • 1 Trinomiali
    • 1.1 Popolna kvadratna trinomija
  • 2 Značilnosti trinomenov 2. stopnje
    • 2.1 Popoln kvadrat
    • 2.2 Formula za topilo
    • 2.3 Geometrijska razlaga
    • 2.4 Faktoring trinomialov
  • 3 Primeri
    • 3.1 Primer 1
    • 3.2 Primer 2
  • 4 Reference

Trinomiji

Polinom, ki ga tvori vsota treh izrazov (treh monomov) različnih stopenj, je znan kot trinom. V nadaljevanju so navedeni primeri trinomialov:

  • x3+x2+5x
  • 2x4-x3+5
  • x2+6x + 3

Obstaja več vrst trinomijev. Od tega poudarja popoln kvadratni trinom.

Odličen kvadratni trinom

Popoln kvadratni trinomial je rezultat dviga binomskega kvadrata. Na primer:

  • (3x-2)2= 9x2-12x + 4
  • (2x3+y)2= 4x6+4x3y + y2
  • (4x2-2y4)2= 16x4-16x2in4+4y8
  • 1 / 16x2in8-1 / 2xy4z + z2= (1/4xy4)2-2 (1/4xy4) z + z2= (1/4xy4-z)2

Značilnosti trinomijev stopnje 2

Popoln trg

Na splošno je trinomija oblike sekira2+bx + c je popoln kvadrat, če je njegova diskriminantna nič; to je, če b2-4ac = 0, ker bo v tem primeru imel samo en koren in se lahko izrazi v obliki a (x-d)2= ((A (x-d))2, kjer je d koren že omenjen.

Koren polinoma je število, v katerem polinom postane nič; z drugimi besedami, število, ki ga z zamenjavo v x v izrazu polinoma povzroči nič.

Formula za topilo

Splošna formula za izračun korenov polinoma druge stopnje oblike osi2+bx + c je formula razločevalnika, ki navaja, da so ti koreni podani z (-b ± √ (b)2-4ac)) / 2a, kjer b2-4ac je znan kot diskriminanten in ga običajno označuje Δ. Iz te formule sledi ta sekira2+bx + c ima:

- Dva različna realna korena, če Δ> 0.

- En sam pravi koren, če je Δ = 0.

- Če nima Δ, nima pravega korena<0.

V nadaljevanju bomo obravnavali le trinomske oblike x2+bx + c, kjer mora biti c jasno, da ni ničelna številka (sicer bi bil binom). Ta vrsta trinomialov ima določene prednosti pri faktoringu in delovanju z njimi.

Geometrijska interpretacija

Geometrično, trinomial x2+bx + c je parabola, ki se odpira navzgor in ima točko na točki (-b / 2, -b)2/ 4 + c) kartezične ravnine, ker je x2+bx + c = (x + b / 2)2-b2/ 4 + c.

Ta parabola reže os Y na točki (0, c) in osi X na točkah (d1,0) in (d)2,0); potem, d1 in d2 so korenine trinoma. Lahko se zgodi, da ima trinomij en sam koren d, v tem primeru je edini izrez z osjo X (d, 0)..

Prav tako se lahko zgodi, da trinomij nima nobenih resničnih korenin, v tem primeru ne bi odrezal osi X na kateri koli točki.

Na primer, x2+6x + 9 = (x + 3)2-9 + 9 = (x + 3)2 je parabola s točko v (-3,0), ki reže os Y v (0,9) in os X v (-3,0).

Trinomska faktorizacija

Zelo uporabno orodje pri delu s polinomi je faktoring, ki izraža polinom kot produkt dejavnikov. Na splošno velja, da imajo trije oblike x2+bx + c, če ima dva različna korena d1 in d2, lahko se upošteva kot (x-d)1) (x-d)2).

Če imate samo en koren d, ga lahko določite kot (x-d) (x-d) = (x-d)2, in če nima resničnih korenin, ostane isto; v tem primeru ne podpira faktorizacije kot produkta drugih dejavnikov, razen samega sebe.

To pomeni, da je lahko poznavanje korenin trinoma že vzpostavljene oblike enostavno izraženo, in kot je bilo že omenjeno, lahko te korenine vedno določimo z uporabo raztapljača..

Vendar pa obstaja velika količina te vrste trinomov, ki jih je mogoče faktorizirati brez predhodnega poznavanja njihovih korenin, kar poenostavlja delo..

Korenine lahko določimo neposredno iz faktorizacije, ne da bi morali uporabiti formulo resolvera; to so polinomi oblike x2 +(a + b) x + ab. V tem primeru imate:

x2+(a + b) x + ab = x2+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Od tu lahko opazimo, da so korenine -a in -b.

Z drugimi besedami, glede trinoma x2+bx + c, če sta dve številki u in v, tako da je c = uv in b = u + v, potem x2+bx + c = (x + u) (x + v).

To je, glede na trinomial x2+bx + c, najprej preverite, ali obstajata dve številki, ki pomnožita den neodvisni izraz (c) in dodata (ali odštejeta, odvisno od primera), izraz, ki spremlja x (b).

Ne z vsemi trinomali na ta način lahko uporabimo to metodo; kjer ne morete, greste v razreševalnik in uporabite prej omenjeno.

Primeri

Primer 1

Faktor naslednje trinomial x2+3x + 2 nadaljujemo na naslednji način:

Morate najti dve številki, tako da, ko ju dodate, je rezultat 3, in ko jih pomnožite, je rezultat 2.

Po opravljenem inšpekcijskem pregledu lahko ugotovimo, da so zahtevane številke: 2 in 1. Zato x2+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Primer 2

Faktor trinoma x2-5x + 6 iščemo dve številki, katerih vsota je -5 in njen produkt 6. Številke, ki izpolnjujejo ta dva pogoja, sta -3 in -2. Zato je faktorizacija danega trinoma x2-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Reference

  1. Viri, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod v izračun. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: Kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika za upravo in ekonomijo. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M., in Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
  5. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uredništvo progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearson Education.