Binomska teoremska predstavitev in primeri

The binomski izrek je enačba, ki nam pove, kako razviti izraz oblike (a + b)ⁿ za nekaj naravnih števil n. Binomski del ni več kot vsota dveh elementov, kot je (a + b). Prav tako nam omogoča, da vemo za izraz, ki ga poda a^kb^n-k kakšen je koeficient, ki gre z njim.

Ta izrek se običajno pripiše angleškemu izumitelju, fiziku in matematiku siru Isaacu Newtonu; vendar pa je bilo ugotovljenih več zapisov, ki kažejo, da je bil na Bližnjem vzhodu že znano, da je obstajal že okoli leta 1000.

Indeks

• 1 kombinatorne številke
• 2 Predstavitev
• 3 Primeri
  • 3.1 Identiteta 1
  • 3.2 Identiteta 2
• 4 Še ena demonstracija
  • 4.1 Dokaz z indukcijo
• 5 Zanimivosti
• 6 Reference

Kombinatorne številke

Binomski izrek matematično govori o naslednjem:

V tem izrazu sta a in b realna števila in n je naravno število.

Pred predstavitvijo si poglejmo nekaj osnovnih pojmov, ki so potrebni.

Kombinatorno število ali kombinacije n v k se izrazi kot sledi:

Ta obrazec izraža vrednost števila podskupin s k elementi, ki jih lahko izberemo iz niza n elementov. Njen algebraični izraz je podan z:

Poglejmo primer: recimo, da imamo skupino sedmih kroglic, od katerih sta dve rdeči in ostali modri.

Želimo vedeti, kako jih lahko zaporedoma naročimo. Eden od načinov je lahko, da se rdeča mesta postavita v prvo in drugo mesto, preostale žoge pa v preostale položaje.

Podobno kot v prejšnjem primeru bi lahko rdečim krogom dali prvo in zadnjo pozicijo, druge pa zasedli z modrimi kroglicami.

Zdaj, učinkovit način za štetje, koliko načinov lahko naročimo žogice v vrsti, uporabljamo kombinatorne številke. Vsako mesto lahko vidimo kot element naslednjega niza:

Nato je treba izbrati samo podskupino dveh elementov, pri čemer vsak od teh elementov predstavlja položaj, ki ga bodo zasedle rdeče kroglice. To lahko naredimo glede na razmerje, ki ga daje:

Tako imamo 21 načinov za razvrščanje takih kroglic.

Splošna ideja tega primera bo zelo koristna pri predstavitvi binomskega izreka. Oglejmo si poseben primer: če je n = 4, imamo (a + b)⁴, ki ni nič več kot:

Ko razvijamo ta izdelek, imamo vsoto izrazov, dobljenih z množenjem elementa vsakega od štirih dejavnikov (a + b). Tako bomo imeli pogoje, ki bodo v obliki:

Če bi želeli dobiti izraz v obrazcu⁴, samo pomnožite na naslednji način:

Upoštevajte, da obstaja samo en način za pridobitev tega elementa; ampak kaj se zgodi, če sedaj iščemo pojem obrazca²b²? Ker sta "a" in "b" realna števila in je zato veljavno komutativno pravo, imamo način, da dobimo ta izraz, da pomnožimo s člani, kot kažejo puščice..

Opravljanje vseh teh operacij je ponavadi nekoliko dolgočasno, vendar, če vidimo izraz "a" kot kombinacijo, kjer želimo vedeti, koliko načinov lahko izberemo dva "a" iz niza štirih dejavnikov, lahko uporabimo idejo prejšnjega primera. Torej imamo naslednje:

Torej, vemo, da je v končnem razvoju izraza (a + b)⁴ imeli bomo točno 6a²b². Z isto idejo za druge elemente morate:

Nato dodamo prej pridobljene izraze in moramo:

Gre za formalni prikaz splošnega primera, v katerem je "n" vsako naravno število.

Predstavitev

Upoštevajte, da izrazi, ki ostanejo pri razvoju (a + b)ⁿ so oblike do^kb^n-k, kjer je k = 0,1, ..., n. Z idejo prejšnjega primera lahko izberemo "k" spremenljivke "a" iz faktorjev "n" je:

Z izbiro na ta način samodejno izberemo n-k spremenljivke "b". Iz tega sledi, da:

Primeri

Glede na (a + b)⁵, Kaj bi bil njegov razvoj?

Po binomskem izreku moramo:

Binomski izrek je zelo koristen, če imamo izraz, v katerem želimo vedeti, kakšen je koeficient določenega izraza brez opravljanja celotnega razvoja. Kot primer lahko vzamemo naslednje vprašanje: kakšen je koeficient x⁷in⁹ v razvoju (x + y)¹⁶?

Po binomskem izreku imamo koeficient:

Drug primer bi bil: kakšen je koeficient x⁵in⁸ v razvoju (3x-7y)¹³?

Najprej prepišemo izraz na prikladen način; to je:

Potem, s pomočjo binomskega izreka, imamo želeni koeficient, ko imamo k = 5

Drug primer uporabe tega izreka je prikaz nekaterih skupnih identitet, kot so spodaj navedene.

Identiteta 1

Če je "n" naravno število, moramo:

Za demonstracijo uporabljamo binomski izrek, kjer sta "a" in "b" vredna 1. Torej imamo:

Tako smo dokazali prvo identiteto.

Identiteta 2

Če je "n" naravno število, potem

Po binomskem izreku moramo:

Še ena demonstracija

Lahko naredimo drugačno predstavitev za binomski izrek z induktivno metodo in pascalovo identiteto, kar nam pove, da če sta "n" in "k" pozitivna cela števila, ki izpolnjujejo n ≥ k, potem:

Dokaz z indukcijo

Najprej poglejmo, da je induktivna osnova izpolnjena. Če je n = 1, moramo:

Dejansko vidimo, da je izpolnjen. Zdaj naj bo n = j tako, da bo izpolnjen:

Želimo videti, da je za n = j + 1 izpolnjeno, da:

Torej moramo:

Po hipotezi vemo, da:

Nato uporabite distribucijsko lastnost:

Kasneje, pri razvoju vsakega povzetka imamo:

Zdaj, če se združimo na primeren način, moramo:

Z uporabo identitete pascal moramo:

Končno, upoštevajte, da:

Zato vidimo, da je binomski izrek izpolnjen za vse "n", ki pripadajo naravnemu številu, in s tem se test konča..

Zanimivosti

Kombinatorično število (nk) se imenuje tudi binomski koeficient, ker se ravno koeficient pojavlja pri razvoju binomov (a + b).ⁿ.

Isaac Newton je posplošil ta izrek za primer, ko je eksponent realno število; ta izrek je znan kot Newtonov binomski izrek.

Že v antiki je bil ta rezultat znan predvsem v primeru, ko je n = 2. Ta primer je omenjen v Elementi Euclides.

Reference

1. Johnsonbaugh Richard. Diskretna matematika PHH
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D in Marc Lipson. Diskretna matematika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskretna in kombinacijska matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskretna matematika in kombinatorija