Varignonovih teoremskih primerov in rešenih vaj



The Varignonov izrek ugotavlja, da če so v kateri koli štirikotnici vse točke nenehno povezane s stranicami, se ustvari paralelogram. Ta izrek je oblikoval Pierre Varignon in ga objavil leta 1731 v knjigi Elementi matematike".

Objava knjige je potekala let po njegovi smrti. Ker je bil Varignon tisti, ki je predstavil ta izrek, je paralelogram poimenovan po njem. Izrek temelji na evklidski geometriji in predstavlja geometrične odnose kvadrilaterale.

Indeks

  • 1 Kaj je Varignonov izrek??
  • 2 Primeri
    • 2.1 Prvi primer
    • 2.2 Drugi primer
  • 3 Vaje rešene
    • 3.1 Vaja 1
    • 3.2 Vaja 2
    • 3.3 Vaja 3
  • 4 Reference

Kaj je Varignonov izrek??

Dejal Varignonov številka je določena s srednje vrednosti štirikotne vedno povzroči paralelograma, in to območje je vedno pol območje štirikotnika, če je ravna in izbočena. Na primer:

Na sliki lahko vidimo štirikotnik s površino X, kjer sta srednji strani strani predstavljeni z E, F, G in H in, ko so združeni, tvorijo paralelogram. Območje štirikotnika je vsota površin oblikovanih trikotnikov, polovica pa ustreza površini paralelograma..

Ker je območje paralelograma polovica površine štirikotnika, se lahko določi obseg tega paralelograma.

Tako je obod enak vsoti dolžin diagonal štirikotnika; to je zato, ker je mediana štirikotnika diagonale paralelograma.

Po drugi strani pa, če so dolžine diagonal četverokotnika popolnoma enake, bo paralelogram diamant. Na primer:

Iz slike je razvidno, da se s povezovanjem središčih stranic štirikotnika pridobi romb. Po drugi strani pa, če so diagonale štirikotnika pravokotne, bo paralelogram pravokotnik.

Prav tako bo paralelogram kvadrat, če ima štirikotnik diagonale enake dolžine in pravokotne.

Izrek ni izpolnjen samo v ravnih štirikotnikih, temveč tudi v prostorski geometriji ali v velikih dimenzijah; to je v tistih štirikotnikih, ki niso konveksni. Primer tega je lahko oktaeder, kjer so središča centroidi vsakega obraza in tvorijo paralelepiped.

Na ta način se lahko z združitvijo središč različnih številk dobijo paralelogrami. Preprost način za preverjanje, ali je to res, je, da morajo biti nasprotne strani vzporedne, ko so podaljšane.

Primeri

Prvi primer

Podaljšanje nasprotnih strani, da se pokaže, da je paralelogram:

Drugi primer

Z združitvijo središč diamanta dobimo pravokotnik:

Izrek uporabimo na stičišču med točkami, ki se nahajajo v sredini stranic štirikotnika, in se lahko uporablja tudi za druge točke, na primer pri resekciji, penta-seno ali celo neomejeno število odsekov ( n), razdeliti na strani katere koli štirikotnik v segmentih, ki so sorazmerne.

Rešene vaje

Vaja 1

Na sliki imamo štirikotnik ABCD območja Z, kjer je sredina strani tega PQSR. Preverite, ali je nastal paralelogram Varignona.

Rešitev

Ugotovimo lahko, da se pri združevanju točk PQSR oblikuje paralelogram Varignona, prav zato, ker so v izjavi podane sredine štirikotnika..

Da bi to dokazali, so srednji točki PQSR združeni, tako da je mogoče videti, da se oblikuje še en štirikotnik. Če želite pokazati, da je paralelogram, morate narisati ravno črto od točke C do točke A, tako da lahko vidite, da je CA vzporedna s PQ in RS.

Podobno je z razširitvijo strani PQRS mogoče opaziti, da sta PQ in RS vzporedna, kot je prikazano na naslednji sliki:

Vaja 2

Ima pravokotnik tako, da so dolžine vseh njegovih strani enake. Pri povezovanju središč teh strani se oblikuje romb ABCD, ki ga delimo z dvema diagonalama AC = 7cm in BD = 10cm, ki sovpadata z meritvami stranic pravokotnika. Določite območja diamantov in pravokotnikov.

Rešitev

Spomnimo se, da je območje nastalega paralelograma polovica štirikotnika, tako da lahko določimo območje teh znakov, ker vemo, da merilo diagonal ustreza stranicam pravokotnika. Torej morate:

AB = D

CD = d

Apravokotnik = (AB * CD) = (10 cm) * 7 cm) = 70 cm2

Aromb = A pravokotnik / 2

Aromb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Vaja 3

Na sliki imamo štirikotnik, ki ima zvezo točk EFGH, podane so dolžine segmentov. Ugotovite, ali je povezava EFGH paralelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Rešitev

Glede na dolžine segmentov je mogoče preveriti, ali obstaja sorazmernost med segmenti; to pomeni, da lahko vemo, če so vzporedni, ki povezujejo segmente štirikotnika na naslednji način:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Potem se preverja sorazmernost, ker:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobno lahko pri risanju črte od točke B do točke D vidimo, da je EH vzporeden z BD, prav tako kot BD vzporedno z FG. Po drugi strani je EF vzporeden z GH.

Na ta način lahko ugotovimo, da je EFGH paralelogram, ker so nasprotne strani vzporedne.

Reference

  1. Andres, T. (2010). Tresure matematične olimpijade. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Ravna euklidska geometrija. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Študija geometrij. Mehika: Hispanic - American.
  4. Ramo, G. P. (1998). Neznane rešitve težav Fermat-Torricelli. ISBN - samostojno delo.
  5. Vera, F. (1943). Elementi geometrije. Bogota.
  6. Villiers, M. (1996). Nekatera doživetja v evklidski geometriji. Južna Afrika.