Teorem o Talesu Mileta, prvi in ​​drugi



Prvi in ​​drugi Teorem o Talesu iz Mileta temeljijo na določanju trikotnikov iz drugih podobnih (prvi izrek) ali obokih (drugi izrek). Bili so zelo koristni na različnih področjih. Prvi izrek se je na primer izkazal za zelo koristnega pri merjenju velikih struktur, ko ni bilo prefinjenih merilnih instrumentov.

Tales iz Mileta je bil grški matematik, ki je veliko prispeval k geometriji, od katerih izstopata ta dva izreka (v nekaterih besedilih ju tudi pisata kot Thales) in njihove uporabne aplikacije. Ti rezultati so bili uporabljeni skozi zgodovino in so omogočili reševanje različnih geometrijskih problemov.

Indeks

  • 1 Prva teorema o zgodbah
    • 1.1 Uporaba
    • 1.2 Primeri
  • 2 Drugi izrek Tales
    • 2.1 Uporaba
    • 2.2 Primer
  • 3 Reference

Prvi izrek Tales

Prvi izrek Tales je zelo uporabno orodje, ki med drugim omogoča gradnjo trikotnika, podobnega drugemu, ki je bil prej znan. Od tu izhajajo različne različice izreka, ki jih lahko uporabimo v več kontekstih.

Preden podate izjavo, si zapomnite nekaj pojmov o podobnosti trikotnikov. V bistvu sta dva trikotnika podobna, če sta njuna kota skladna (imata isti ukrep). To pripelje do dejstva, da če sta dva trikotnika podobna, sta njuni ustrezni strani (ali homologi) sorazmerni.

Prvi izrek Thalesa navaja, da če je v danem trikotniku ravna črta narisana vzporedno s katero od njegovih strani, bo dobljeni novi trikotnik podoben začetnemu trikotniku..

Dobite tudi razmerje med nastali koti, kot je prikazano na naslednji sliki.

Uporaba

Med večkratnimi aplikacijami izstopa ena izmed posebnih interesov in je povezana z enim od načinov, kako so bile meritve opravljene v velikih antičnih predpostavkah, v času, ko je Thales živel in v katerih sodobne merilne naprave niso bile na voljo. zdaj obstajajo.

Rečeno je bilo, da je tako Tales uspelo izmeriti najvišjo piramido v Egiptu, Cheops. Za to je Thales domneval, da so se odsevi sončnih žarkov dotikali tal, ki tvorijo vzporedne črte. Po tej predpostavki je vtaknil palico ali palico navpično v zemljo.

Nato je uporabil podobnost dveh dobljenih trikotnikov, enega, ki ga je sestavila dolžina sence piramide (ki jo je mogoče zlahka izračunati), in višino piramide (neznano), druga pa obliko dolžine sence. in višino palice (ki jo je mogoče tudi enostavno izračunati).

Z uporabo sorazmernosti med temi dolžinami lahko razberete in poznate višino piramide.

Čeprav lahko ta metoda merjenja povzroči pomembno napako pri približevanju glede na točnost višine in je odvisna od vzporednosti sončnih žarkov (ki je odvisna od natančnega časa), moramo prepoznati, da je to zelo pametna ideja. in je zagotovila dobro alternativno meritev za čas.

Primeri

Poišči vrednost x v vsakem primeru:

Rešitev

Tukaj imamo dve vrstici, ki ju izrežemo z dvema vzporednima črtama. S prvo teoremom Thales-a imamo, da so njihove strani sorazmerne. Zlasti:

Rešitev

Tukaj imamo dva trikotnika, od katerih je eden sestavljen iz segmenta, ki je vzporeden z eno od strani drugega (natančno stran dolžine x). Po prvem izreku Tales morate:

Druga teorema o zgodbah

Drugi izrek Thalesa določa pravokotni trikotnik, vpisan na obod v vsaki točki istega.

Trikotnik, vpisan v obod, je trikotnik, katerega tocke so na obodu in so zato v tem vsebovane.

Drugi izrek Thalesa navaja naslednje: glede na krog središča O in premera AC vsaka točka B oboda (razen A in C) določa desni trikotnik ABC, s pravim kotom

Opozoriti je treba, da OA in OB ter OC ustrezata polmeru oboda; zato so njihove meritve enake. Od tam je ugotovljeno, da so trikotniki OAB in OCB enakokraki, kjer

Znano je, da je vsota kotov trikotnika enaka 180 °. Z uporabo trikotnika ABC morate:

2b + 2a = 180 °.

Enako, da imamo b + a = 90º in b + a =

Upoštevajte, da je pravi trikotnik, ki ga daje drug Thalesov izrek, točno tisti, katerega hipotenuza je enaka premeru oboda. Zato je popolnoma določena s polkrogom, ki vsebuje točke trikotnika; v tem primeru zgornji polkrog.

Upoštevajte tudi, da je v pravem trikotniku, dobljenem s pomočjo Thalesovega drugega izreka, hipotenuza razdeljena na dva enaka dela z OA in OC (polmer). Ta meritev je enaka segmentu OB (tudi polmeru), ki ustreza mediani trikotnika ABC z B.

Z drugimi besedami, dolžina mediane pravokotnega trikotnika ABC, ki ustreza vozlišču B, je popolnoma določena s polovico hipotenuze. Spomnimo se, da je mediana trikotnika segment od ene točke do sredine nasprotne strani; v tem primeru segment BO.

Obodni obod

Drugi način, da vidite Thalesov drugi izrek je skozi krog, ki je omejen na pravi trikotnik.

Na splošno je krog, omejen na mnogokotnik, sestavljen iz oboda, ki poteka skozi vsako od njegovih tock, kadar ga je mogoce slediti.

Z uporabo drugega izreka Thalesa, glede na pravokotni trikotnik, lahko vedno konstruiramo krožnico, ki je omejena s tem, s polmerom, ki je enak polovici hipotenuze in circumcenter (središče oboda), ki je enaka sredini hipotenuze.

Uporaba

Zelo pomembna uporaba drugega izreka Tales, in morda najbolj uporabljena, je najti tangentne črte na dani obod, s točko P, ki je zunaj temu (znano).

Upoštevajte, da je ob obodu (narisano v modri barvi na spodnji sliki) in zunanji točki P dve vrsti tangentno na obod, ki gredo skozi P. Naj bodo T in T 'točke dotika, r polmer oboda in Ali center.

Znano je, da je odsek, ki sega od središča kroga do točke dotika, pravokoten na to tangentno linijo. Potem je kot OTP ravno.

Iz tistega, kar smo videli prej v prvem izreku Thalesa in njegovih različnih različicah, vidimo, da je možno vtipkati trikotnik OTP v drug obseg (rdeče)..

Podobno je ugotovljeno, da je lahko trikotnik OT'P vpisan znotraj istega prejšnjega oboda.

Po drugem izreku Thalesa dobimo tudi, da je premer tega novega oboda natanko hipotenuza trikotnika OTP (ki je enaka hipotenuzi trikotnika OT'P), središče pa središče te hipotenuze..

Da bi izračunali središče novega oboda, je potem dovolj, da izračunamo srednjo točko med središčem - recimo M - začetnega oboda (ki ga že poznamo) in točko P (ki jo tudi poznamo). Potem bo polmer razdalja med to točko M in P.

S polmerom in središčem rdečega kroga lahko najdemo njegovo kartezijsko enačbo, ki jo zapomnimo (x-h)2 + (y-k)2 = c2, kjer je c polmer in točka (h, k) je središče kroga.

Ker poznamo enačbe obeh obodov, jih lahko presečemo tako, da rešimo sistem enačb, ki jih tvorijo ti, in tako pridobimo točke tangenc T in T '. Končno, da bi izvedeli želene tangentne črte, je dovolj, da najdemo enačbo ravnih črt, ki potekajo skozi T in P, ter s T 'in P.

Primer

Upoštevajte obseg premera AC, središče O in polmer 1 cm. Naj bo B točka na obodu, tako da je AB = AC. Kolikšna je vrednost AB?

Rešitev

Po drugem izreku Thalesa imamo trikotnik ABC pravokotnik, hipotenuza pa premer, ki v tem primeru meri 2 cm (polmer je 1 cm). Potem moramo po pitagorejskem izreku:

Reference

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Geometrija in trigonometrija. Zapopan, Jalisco: Threshold Editions.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Metodologija in aplikacije matematike v E.S.O. Ministrstvo za šolstvo.
  4. IGER. (2014). Matematika 2. semester Zaculeu. Gvatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Threshold Editions.
  6. M., S. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearson Education.
  7. Pérez, M. A. (2009). Zgodovina matematike: izzivi in ​​osvajanja skozi njihove osebnosti. Knjige o uredniški viziji.
  8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Ravna analitična geometrija. Venezuelski uvodnik C. A.