Moivrejeva teorema o tem, kaj so, demonstracije in rešene vaje

The Moivrejev izrek uporablja temeljne procese algebre, kot so moči in ekstrakcija korenin v kompleksnih številkah. Izrek je izrekel znani francoski matematik Abraham de Moivre (1730), ki je povezal kompleksna števila s trigonometrijo.

Abraham Moivre je to povezavo naredil preko izrazov prsi in kosinusa. Ta matematik je ustvaril nekakšno formulo, s katero je mogoče dvigniti kompleksno število z na moč n, ki je pozitivno celo število, večje od ali enako 1..

Indeks

• 1 Kaj je Moivrejev izrek??
• 2 Predstavitev
  • 2.1 Induktivna osnova
  • 2.2 Induktivna hipoteza
  • 2.3 Preverjanje
  • 2.4 Negativno celo število
• 3 Vaje rešene
  • 3.1 Izračun pozitivnih moči
  • 3.2 Izračun negativnih moči
• 4 Reference

Kaj je Moivrejev izrek??

Moivrejev izrek določa naslednje:

Če imate kompleksno število v polarni obliki z = r_ɵ, kjer je r modul kompleksnega števila z in kot Ɵ imenujemo amplituda ali argument kateregakoli kompleksnega števila z 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, da bi izračunali njeno n-to moč, je ne bo treba sam pomnožiti n-krat; to pomeni, da ni potrebno izdelati naslednjega proizvoda:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_* r_* r_{... * ... *} r_ɵ   n-krat.

Nasprotno, izrek pravi, da pri pisanju z v svoji trigonometrični obliki za izračun n-te moči nadaljujemo na naslednji način:

Če je z = r (cos i + i _* sin Ɵ), nato zⁿ = rⁿ (cos n * i + i _* sin n * Ɵ).

Na primer, če je n = 2, potem je z² = r²[cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)]. Če imate n = 3, potem z³ = z² _* z. Poleg tega:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Na ta način lahko dobimo trigonometrična razmerja sinusov in kosinusov za mnogokratnike kota, dokler so znani trigonometrični razmerji kota..

Na enak način se lahko uporablja za iskanje natančnejših in manj zmedenih izrazov za n-ti koren kompleksnega števila z, tako da je zⁿ = 1.

Za prikaz Moivrejevega izreka se uporablja načelo matematične indukcije: če ima celo število "a" lastnost "P", in če je za celo število "n" večje od "a", ki ima lastnost "P", je izpolnjuje, da ima n + 1 tudi lastnost "P", potem imajo vsa cela števila, ki so večja ali enaka "a", lastnost "P".

Predstavitev

Na ta način je dokaz teorema izveden z naslednjimi koraki:

Induktivna baza

Prvo preverjanje za n = 1.

Kot z¹ = (r (cos i + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos i + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* +) + I _* sen (1_* Ɵ)], imamo za n = 1 izrek izpolnjen.

Induktivna hipoteza

Predpostavlja se, da je formula pravilna za določeno pozitivno celo število, to je n = k.

z^k = (r (cos i + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k i + i _* sen k Ɵ).

Preverjanje

Dokazano je, da je to res za n = k + 1.

Kot z^{k + 1}= z^k _* z, nato z^{k + 1} = (r (cos i + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos i + i_* senƟ).

Nato se izrazi pomnožijo:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Za trenutek se faktor r ne upošteva^{k + 1},  in skupni faktor i se odstrani:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Kako i² = -1, nadomestimo ga v izrazu in dobimo:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Zdaj je urejen pravi in ​​namišljeni del:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Za poenostavitev izraza se uporabljajo trigonometrične identitete vsote kotov za kosinus in sinus, ki so:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A. \ t _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A. \ t _* cos B.

V tem primeru so spremenljivke koti Ɵ in kƟ. Z uporabo trigonometričnih identitet imamo:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Tako ostane izraz:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) +] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Tako je mogoče pokazati, da je rezultat veljaven za n = k + 1. Po načelu matematične indukcije se zaključi, da je rezultat resničen za vsa pozitivna cela števila; to je n ≥ 1.

Integer negativno

Moiverov izrek se uporablja tudi, ko je n ≤ 0. Upoštevajmo negativno celo število "n"; potem lahko "n" zapišemo kot "-m", to je, n = -m, kjer je "m" pozitivno celo število. Zato:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos i + i _* sen Ɵ) ^-m

Da dobimo eksponent "m" na pozitiven način, izraz zapišemo obratno:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos i + i _* sen Ɵ) ^m

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Sedaj se uporablja, da če je z = a + b * i kompleksno število, potem je 1 = z = a-b * i. Zato:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Z uporabo cos (x) = cos (-x) in -sen (x) = sin (-x) moramo:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Na ta način lahko rečemo, da se izrek uporablja za vse celoštevilčne vrednosti "n"..

Rešene vaje

Izračun pozitivnih moči

Ena od operacij s kompleksnimi številkami v polarni obliki je množenje med dvema od teh; v tem primeru se moduli pomnožijo in argumenti se dodajo.

Če imate dve kompleksni številki z₁ in z₂ in želite izračunati (z₁* z₂)², Nato nadaljujemo na naslednji način:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen₂)]

Uporabi se distribucijska lastnost:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen₂ + i _* sen_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen_{1 *} sen₂).

Združeni so z izrazom "i" kot skupnim faktorjem izrazov:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen_{1 *} sen₂]

Kako i² = -1, se nadomesti v izrazu:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) - sen_{1 *} sen₂]

Realni izrazi so združeni z resničnim in imaginarnim z imaginarnim:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen_{1 *} sen₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂)]

Nazadnje so uporabljene trigonometrične lastnosti:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)].

Skratka:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (₁ + ɵ₂)].

Vaja 1

Zapišite kompleksno število v polarni obliki, če je z = - 2 -2i. Nato z uporabo Moivrejevega izreka izračunamo z⁴.

Rešitev

Kompleksno število z = -2 -2i je izraženo v pravokotni obliki z = a + bi, kjer:

a = -2.

b = -2.

Vedo, da je polarna oblika z = r (cos i + i _* sin Ɵ), morate določiti vrednost modula "r" in vrednost argumenta "Ɵ". Kot r = √ (a² + b²) se dane vrednosti zamenjajo:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Nato se za določitev vrednosti "," uporabi pravokotna oblika, ki jo poda formula:

tan Ɵ = b. a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kot tan (Ɵ) = 1 in morate<0, entonces se tiene que:

Ar = arctan (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5Π / 4.

Ker je bila vrednost "r" in "Ɵ" že dosežena, se lahko kompleksno število z = -2 -2i izrazi v polarni obliki z nadomestitvijo vrednosti:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Zdaj je Moivrejev izrek uporabljen za izračun z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Vaja 2

Poiščite produkt kompleksnih števil, tako da ga izrazite v polarni obliki:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Nato izračunajte (z1 * z2) ².

Rešitev

Najprej se oblikuje produkt danih števil:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Nato pomnožite module in dodajte argumente:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50. \ t^o + 100^o)]

Izraz je poenostavljen:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150. \ t^o + (i_* 150 sen^o).

Na koncu uporabimo Moiverov izrek:

(z1 * z2) ² = (28. \ t _* (cos 150. \ t^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Izračun negativnih moči

Za razdelitev dveh kompleksnih števil z₁ in z₂ v polarni obliki je modul razdeljen in argumenti se odštejejo. Tako je količnik z₁ . Z₂ in se izrazi na naslednji način:

z₁ . Z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (₁ - ɵ₂)]).

Kot v prejšnjem primeru, če želite izračunati (z1 2 z2) ³ najprej naredimo delitev in uporabimo Moivrejev izrek..

Vaja 3

Glede na:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

izračunajte (z1 2 z2) ³.

Rešitev

Na podlagi zgoraj opisanih korakov je mogoče sklepati, da: \ t

(z1 2 z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Reference

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Iz Moivrejeve teoreme za trik identitete. Wolframov demonstracijski projekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciklopedija matematike.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra in trigonometrija.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Linearna algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.