Deliti:
Euklidove teoremske formule, predstavitev, uporaba in vaje
The Evklidov izrek prikazuje lastnosti pravokotnega trikotnika tako, da nariše črto, ki jo deli na dva nova pravokotna trikotnika, ki sta si podobna in sta podobna prvotnemu trikotniku; torej obstaja razmerje sorazmernosti.
Euclid je bil eden največjih matematikov in geometrov starega veka, ki je izvedel več demonstracij pomembnih izrekov. Ena izmed glavnih je tista, ki nosi njegovo ime, ki ima široko uporabo.
To je bilo tako, ker skozi ta izrek na enostaven način razlaga geometrijske odnose, ki obstajajo v pravem trikotniku, kjer so noge tega povezane z njihovimi projekcijami v hipotenuzi..
Indeks
- 1 Formule in predstavitev
- 1.1 Teorem višine
- 1.2 Teorema nog
- 2 Razmerje med Euclidovimi izreki
- 3 Vaje rešene
- 3.1 Primer 1
- 3.2 Primer 2
- 4 Reference
Formule in predstavitev
Euklidov izrek predlaga, da v vsakem pravokotnem trikotniku, ko je črta narisana, ki predstavlja višino, ki ustreza vozlišču pravih kotov glede na hipotenuza, nastanejo dva pravokotna trikotnika..
Ti trikotniki bodo podobni drug drugemu in bodo podobni prvotnemu trikotniku, kar pomeni, da so njihove podobne strani sorazmerne:
Koti treh trikotnikov so skladni; to pomeni, da ko se vrti na 180 stopinj na svoji tocki, kot na drugi sovpada. To pomeni, da bodo vsi enaki.
Na ta način lahko tudi preverite podobnost, ki obstaja med tremi trikotniki, z enakostjo njihovih kotov. Iz podobnosti trikotnikov Euclid vzpostavi razmerja teh dveh izrekov:
- Izrek višine.
- Teorema nog.
Ta izrek ima široko uporabo. V antiki je bil uporabljen za izračun višin ali razdalj, kar predstavlja velik napredek za trigonometrijo.
Trenutno se uporablja na več področjih, ki temeljijo na matematiki, kot so inženiring, fizika, kemija in astronomija, med mnogimi drugimi področji..
Izrek višine
Ta izrek navaja, da je v vsakem pravokotnem trikotniku višina, narisana s pravim kotom glede na hipotenuzo, geometrijska proporcionalna sredina (kvadrat višine) med projekcijami nog, ki določajo hipotenuzo.
To pomeni, da bo kvadrat višine enak množenju projiciranih nog, ki tvorijo hipotenuzo:
hc2 = m * n
Predstavitev
Glede na trikotnik ABC, ki je pravokotnik na tocki C, se pri nacrtovanju višine generirajo dva podobna pravokotna trikotnika, ADC in BCD; zato so njihove ustrezne strani sorazmerne:
Na tak način, da je višina hc ki ustreza segmentu CD, ustreza hipotenuze AB = c, zato moramo:
To pa ustreza:
Čiščenje hipotenuze (hc), da pomnožite dva člana enakosti, morate:
hc * hc = m * n
hc2 = m * n
Tako je vrednost hipotenuze podana z:
Teorema nog
Ta izrek navaja, da bo v vsakem pravokotnem trikotniku merilo vsakega kraka geometrijsko proporcionalna srednja vrednost (kvadrat vsake noge) med meritvijo hipotenuze (popolna) in projekcijo vsakega od njiju:
b2 = c * m
a2 = c* n
Predstavitev
Glede na trikotnik ABC, ki je pravokotnik na tocki C, tako da je njegova hipotenuza c, se pri nacrtovanju višine (h) dolocijo projekcije krakov a in b, ki sta segmenta m oziroma n. hipotenuza.
Tako imamo višino, ki je narisana na pravokotnem trikotniku ABC, ki ustvarja dva podobna pravokotna trikotnika, ADC in BCD, tako da so ustrezne strani sorazmerne, kot to:
DB = n, ki je projekcija CB noge na hipotenuzo.
AD = m, ki je projekcija katetusa AC na hipotenuzo.
Potem je hipotenuza c določena z vsoto nog projekcij:
c = m + n
Zaradi podobnosti trikotnikov ADC in BCD moramo:
Zgoraj je enako kot:
S čiščenjem noge "a", da pomnožimo dva člana enakosti, moramo:
a * a = c * n
a2 = c * n
Vrednost noge "a" je tako:
Podobno, s podobnostjo trikotnikov ACB in ADC, moramo:
Zgoraj navedeno je enako:
S čiščenjem noge "b", da pomnožimo dva člana enakosti, moramo:
b * b = c * m
b2 = c * m
Vrednost noge "b" je tako:
Razmerje med Euclidovimi izreki
Izreki, ki se nanašajo na višino in noge, so med seboj povezani, ker je merilo obeh izvedeno glede na hipotenuzo pravega trikotnika..
Skozi razmerje Euclidovih izrekov lahko najdemo tudi vrednost višine; to je mogoče s čiščenjem vrednosti m in n iz izreka nog in se zamenjata v višjemu teoremu. Na ta način je višina enaka množenju nog, deljene s hipotenuzo:
b2 = c * m
m = b2 C
a2 = c * n
n = a2 C
V teoremu višine se m in n nadomestita:
hc2 = m * n
hc2 = (b2 ) C) * (a2 ) C)
hc = (b2* a2) ÷ c
Rešene vaje
Primer 1
Glede na trikotnik ABC, pravokotnik v A, določimo merilo AC in AD, če je AB = 30 cm in BD = 18 cm
Rešitev
V tem primeru imamo meritve ene od projiciranih nog (BD) in ene od nog prvotnega trikotnika (AB). Na ta način lahko uporabite izrek o nogah, da najdete vrednost noge BC.
AB2 = BD * Pr
(30)2 = 18 * Pr
900 = 18 * Pr
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Vrednost CD katetusa je mogoče najti, če vemo, da je BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Zdaj je mogoče določiti vrednost katetusa AC, znova uporabiti izrek noge:
AC2 = CD * BD
AC2 = 32 * 50
AC2 = 160
AC = 001600 = 40 cm
Za določitev vrednosti višine (AD) je uporabljen višinski teorem, saj so vrednosti projiciranih nog CD in BD znane:
AD2 = 32 * 18
AD2 = 576
AD = .576
AD = 24 cm
Primer 2
Določi vrednost višine (h) trikotnika MNL, pravokotnika v N, ki pozna meritve segmentov:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Rešitev
Imate meritev ene noge, ki je projicirana na hipotenuzo (PM), kot tudi meritve nog prvotnega trikotnika. Na ta način lahko uporabimo izrek o nogah za iskanje vrednosti druge projicirane noge (LN):
NL2 = PM * LM
(10)2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Ker že poznamo vrednost nog in hipotenuzo, lahko s pomočjo razmerja izrekov višine in nog določimo vrednost višine:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b2* a2) ÷ c.
h = (102* 52) ÷ (20)
h = (100%) * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
Reference
- Braun, E. (2011). Kaos, fraktali in čudne stvari. Sklad za gospodarsko kulturo.
- Cabrera, V. M. (1974). Sodobna matematika, Zvezek 3.
- Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. letnik matematike Caracas: Santillana.
- Enciklopedija Britannica, i. (1995). Hispanska enciklopedija: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
- Euclid, R.P. (1886). Euclidovi elementi geometrije.
- Guardeño, A. J. (2000). Zapuščina matematike: od Euclida do Newtona, genijev skozi njegove knjige. Univerza v Sevilli.