Chebyshova teorema Kaj vsebuje, aplikacije in primeri



The Čebisov izrek (ali Chebyshova neenakost) je eden najpomembnejših klasičnih rezultatov teorije verjetnosti. Omogoča ocenjevanje verjetnosti dogodka, opisanega v smislu naključne spremenljivke X, z zagotavljanjem dimenzije, ki ni odvisna od porazdelitve naključne spremenljivke, ampak od variance X..

Izrek je poimenovan po ruskem matematiku Pafnutyju Chebyshovu (napisano tudi kot Chebychev ali Tchebycheff), ki je kljub temu, da ni bil prvi, ki je izrekel ta izrek, prvi podal demonstracijo v letu 1867.

Ta neenakost ali tiste, ki se po svojih lastnostih imenujejo Chebyshova neenakost, se uporablja predvsem za približevanje verjetnosti s pomočjo izračuna dimenzij..

Indeks

  • 1 Kaj vsebuje??
  • 2 Aplikacije in primeri
    • 2.1 Verjetnost omejitve
    • 2.2 Demonstracija mejnih izrekov
    • 2.3 Velikost vzorca
  • 3 Neenakosti vrste Chebyshov
  • 4 Reference

Od česa je sestavljen??

V študiji teorije verjetnosti se zgodi, da če poznamo funkcijo porazdelitve slučajne spremenljivke X, lahko izračunamo njeno pričakovano vrednost - ali matematično pričakovanje E (X) - in njeno varianco Var (X), dokler navedeni zneski obstajajo. Vendar vzajemnost ni nujno resnična.

Če poznamo E (X) in Var (X), ni nujno, da dobimo funkcijo porazdelitve X, tako da je za nekatere k> 0 zelo težko dobiti količine, kot je P (| X |> k). Toda zahvaljujoč neenakosti Chebyshova je mogoče oceniti verjetnost naključne spremenljivke.

Čebišov izrek nam pove, da če imamo naključno spremenljivko X na vzorčnem prostoru S s funkcijo verjetnosti p, in če k> 0, potem:

Aplikacije in primeri

Med številnimi aplikacijami, ki jih ima Chebyshov izrek, lahko omenimo naslednje:

Omejevanje verjetnosti

To je najpogostejša aplikacija in se uporablja za določitev zgornje meje za P (| X-E (X) | ≥k), kjer je k> 0, samo z varianco in pričakovanjem naključne spremenljivke X, ne da bi vedeli funkcijo verjetnosti..

Primer 1

Predpostavimo, da je število izdelkov, proizvedenih v podjetju v tednu, naključna spremenljivka s povprečjem 50.

Če vemo, da je varianca tedenske proizvodnje enaka 25, kaj lahko rečemo o verjetnosti, da se bo v tem tednu proizvodnja razlikovala za več kot 10 od povprečja?

Rešitev

Z uporabo neenakosti Chebyshova moramo:

Iz tega lahko ugotovimo, da je verjetnost, da bo v tednu proizvodnje število člankov preseglo več kot 10 do povprečja, največ 1/4..

Prikaz mejnih izrekov

Neenakost Chebyshova ima pomembno vlogo pri predstavitvi najpomembnejših mejnih izrekov. Kot primer imamo naslednje:

Slab zakon velikih števil

Ta zakon določa, da je glede na zaporedje X1, X2, ..., Xn, ... neodvisnih slučajnih spremenljivk z enako povprečno porazdelitvijo E (Xi) = μ in varianco Var (X) = σ2, in znanega povprečnega vzorca: \ t

Nato za k> 0 morate:

Ali, enakovredno:

Predstavitev

Najprej opazimo naslednje:

Ker so X1, X2, ..., Xn neodvisni, sledi:

Zato je mogoče potrditi naslednje:

Potem, s pomočjo Chebyshovovega izreka, moramo:

Končno, izrek izhaja iz dejstva, da je meja desno nič, ko n teži k neskončnosti.

Opozoriti je treba, da je bil ta preskus opravljen samo za primer, ko obstaja varianca Xi; to pomeni, da se ne razlikuje. Tako ugotavljamo, da je izrek vedno veljaven, če obstaja E (Xi).

Chebyshovljev mejni izrek

Če je X1, X2, ..., Xn, ... zaporedje neodvisnih naključnih spremenljivk, tako da obstaja nekaj C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Predstavitev

Ker je zaporedje variance enakomerno omejeno, imamo Var (Sn) ≤ C / n za vse naravne n. Toda vemo, da:

S tem, ko n teži k neskončnosti, dobimo naslednje rezultate:

Ker verjetnost ne more preseči vrednosti 1, dobimo želeni rezultat. Kot posledica tega izreka lahko omenimo poseben primer Bernoullija.

Če se poskus ponovi n-krat neodvisno z dvema možnima izidoma (neuspeh in uspeh), kjer je p verjetnost uspeha v vsakem poskusu in X je naključna spremenljivka, ki predstavlja število doseženih uspehov, potem za vsak k> 0 morate:

Velikost vzorca

Kar zadeva varianco, nam Chebyshovova neenakost omogoča, da poiščemo velikost vzorca n, ki je zadostna za zagotovitev, da je verjetnost, da se | Sn-μ |> = k pojavlja, tako majhna, kot želimo, kar nam omogoča, da imamo približek povprečju.

Natančno naj bo X1, X2, ... Xn vzorec neodvisnih slučajnih spremenljivk velikosti n in predpostavimo, da je E (Xi) = μ in njegova varianca σ2. Potem moramo zaradi Chebyshoveve neenakosti:

Primer

Denimo, da so X1, X2, ... Xn vzorec neodvisnih slučajnih spremenljivk z Bernoullijevo porazdelitvijo, tako da vzamejo vrednost 1 z verjetnostjo p = 0.5..

Kakšna mora biti velikost vzorca, da se zagotovi, da je verjetnost, da je razlika med aritmetično sredino Sn in njeno pričakovano vrednostjo (več kot 0,1) manjša ali enaka 0. 01?

Rešitev

Imamo, da je E (X) = μ = p = 0,5 in da je Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Za neenakost Chebyshova, za vsako k> 0 moramo:

Zdaj, ob k = 0.1 in δ = 0.01, moramo:

Na ta način se ugotavlja, da je potrebna velikost vzorca vsaj 2500, da se zagotovi, da je verjetnost dogodka | Sn - 0.5 |> = 0.1 manjša od 0.01.

Neenakosti vrste Chebyshov

Obstajajo različne neenakosti, povezane z neenakostjo Chebyshova. Ena izmed najbolj znanih je Markova neenakost:

V tem izrazu je X ne-negativna naključna spremenljivka s k, r> 0.

Markova neenakost ima lahko različne oblike. Na primer, naj bo Y nenegativna naključna spremenljivka (tako P (Y> = 0) = 1) in predpostavimo, da obstaja E (Y) = μ. Predpostavimo tudi, da (E (Y))r= μr obstaja za celo število r> 1. Nato:

Druga neenakost je Gaussova, ki nam pove, da je podana unimodalna slučajna spremenljivka X z načinom na nič, nato pa za k> 0,

Reference

  1. Kai Lai Chung Elementarna teorija uporabnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. S.A. MEKSIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problematika reševanja diskretne matematike. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorija in problemi verjetnosti. McGRAW-HILL.