Razlaga, aplikacije in vaje Bolzanovega teorema

The Bolzanov izrek ugotavlja, da če je funkcija neprekinjena na vseh točkah zaprtega intervala [a, b] in se prepriča, da imata slika "a" in "b" (pod funkcijo) nasprotujoče si znake, potem bo vsaj ena točka "C" v odprtem intervalu (a, b), tako da bo funkcija, ocenjena v "c", enaka 0.

Ta izrek so leta 1850 zapisali filozof, teolog in matematik Bernard Bolzano. Ta znanstvenik, rojen na današnji Češki republiki, je bil eden prvih matematikov v zgodovini, ki je formalno prikazal lastnosti neprekinjenih funkcij..

Indeks

• 1 Razlaga
• 2 Predstavitev
• 3 Za kaj gre??
• 4 Vaje rešene
  • 4.1 Vaja 1
  • 4.2 Vaja 2
• 5 Reference

Razlaga

Bolzanov izrek je znan tudi kot izrek o vmesnih vrednostih, ki pomaga pri določanju določenih vrednosti, zlasti ničel, določenih realnih funkcij realne spremenljivke..

V dani funkciji se f (x) nadaljuje, to je, da sta f (a) in f (b) povezani s krivuljo, kjer je f (a) pod osjo x (negativna), in f (b) je nad osjo x (pozitivno) ali obratno, bo grafično na osi x prikazana točka rezanja, ki bo predstavljala vmesno vrednost "c", ki bo med "a" in "b", in vrednost f (c) bo enako 0.

Z grafično analizo Bolzanovega izreka lahko vemo, da je za vsako funkcijo f kontinuirana, definirana v intervalu [a, b], kjer je f (a)_*f (b) je manj kot 0, v intervalu (a, b) bo vsaj en koren "c" te funkcije;.

Ta izrek ne določa števila točk, ki obstajajo v tem odprtem intervalu, ampak navaja, da je vsaj ena točka.

Predstavitev

Za dokazovanje Bolzanovega izreka se predpostavlja brez izgube splošnosti, da f (a) < 0 y f(b) > 0; na ta način lahko obstaja več vrednosti med "a" in "b", pri katerih je f (x) = 0, vendar morate samo pokazati, da obstaja ena.

Začnite z vrednotenjem f na sredini (a + b) / 2. Če je f ((a + b) / 2) = 0, se test tukaj konča; sicer je f ((a + b) / 2) pozitivna ali negativna.

Izbrana je ena od polovic intervala [a, b], tako da so znaki funkcije, ocenjene na koncih, različni. Ta novi interval bo [a1, b1].

Zdaj, če f ovrednoti na sredini [a1, b1] ni nič, potem se izvede ista operacija kot prej; to pomeni, da je izbrana polovica tega intervala, ki ustreza stanju znakov. Je ta novi interval [a2, b2].

Če se ta postopek nadaljuje, se uporabita dve zaporedji an in bn, tako da:

an se povečuje in bn se zmanjšuje:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Če izračunate dolžino vsakega intervala [ai, bi], boste morali:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Zato je meja, ko n teži k neskončnosti od (bn-an), enaka 0.

Z uporabo tega an se povečuje in omejuje in bn se zmanjšuje in omejuje, mora obstajati vrednost "c" tako, da:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... ≤ c ≤. ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Meja an je "c" in meja bn je tudi "c". Torej, glede na katerokoli δ> 0, vedno obstaja "n" tako, da je interval [an, bn] vsebovan v intervalu (c-δ, c + δ)..

Sedaj moramo pokazati, da je f (c) = 0.

Če je f (c)> 0, potem, ker je f neprekinjen, obstaja ε> 0, tako da je f pozitiven v celotnem intervalu (c-ε, c + ε). Vendar, kot je navedeno zgoraj, obstaja vrednost "n", tako da f spremeni znak v [an, bn] in je poleg tega [an, bn] vsebovan znotraj (c-ε, c + ε), kaj je protislovje.

Če je f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 tako, da je f negativna v celotnem intervalu (c-ε, c + ε); vendar obstaja vrednost "n", tako da f spremeni znak v [an, bn]. Izkazalo se je, da se [an, bn] nahaja znotraj (c-ε, c + ε), kar je tudi protislovje.

Zato je f (c) = 0 in to smo želeli prikazati.

Za kaj je??

Iz svoje grafične interpretacije se Bolzanov izrek uporablja za iskanje korenin ali ničel v zvezni funkciji, skozi bisection (aproksimacija), ki je inkrementalna metoda iskanja, ki vedno deli intervale v 2.

Nato vzemite interval [a, c] ali [c, b], kjer pride do spremembe znaka, in postopek ponovite, dokler ni interval manjši in manjši, tako da se lahko približate želeni vrednosti; vrednost, ki jo funkcija naredi 0.

Če povzamemo, za uporabo Bolzanovega izreka in tako poiščemo korenine, ločimo ničle funkcije ali damo rešitev enačbi, izvedemo naslednje korake:

- Preveri se, če je f kontinuirana funkcija v intervalu [a, b].

- Če interval ni podan, je treba najti mesto, kjer je funkcija neprekinjena.

- Preveri se, če ekstremi intervala dajo nasprotne znake, kadar se ocenjujejo v f.

- Če nasprotni znaki niso pridobljeni, je treba interval razdeliti na dva podintervala z uporabo sredine.

- Ocenite funkcijo na sredini in preverite, ali je izpolnjena Bolzanova hipoteza, kjer je f (a) _* f (b) < 0.

- Odvisno od znaka (pozitivnega ali negativnega) najdene vrednosti, se postopek ponovi z novim subintervalom, dokler ni izpolnjena navedena hipoteza..

Rešene vaje

Vaja 1

Določite, ali je funkcija f (x) = x² - 2, ima vsaj eno realno rešitev v intervalu [1,2].

Rešitev

Imamo funkcijo f (x) = x² - 2. Ker je polinom, pomeni, da je neprekinjen v vsakem intervalu.

Od vas se zahteva, da ugotovite, ali imate resnično rešitev v intervalu [1, 2], tako da morate zdaj zamenjati konce intervala v funkciji, da bi poznali znak teh in vedeli, ali izpolnjujejo pogoj drugačnosti:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativno)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitivno)

Zato je znak f (1) ≠ znaka f (2).

To zagotavlja, da je vsaj ena točka "c", ki pripada intervalu [1,2], kjer je f (c) = 0.

V tem primeru se vrednost "c" zlahka izračuna na naslednji način:

x² - 2 = 0

x = ± .2.

Tako √2 ≈ 1,4 pripada intervalu [1,2] in izpolnjuje f ()2) = 0.

Vaja 2

Dokaži, da je enačba x⁵ + x + 1 = 0 ima vsaj eno pravo rešitev.

Rešitev

Najprej upoštevajte, da je f (x) = x⁵ + x + 1 je polinomska funkcija, kar pomeni, da je neprekinjen v vseh realnih številkah.

V tem primeru interval ni podan, zato je treba vrednosti izbrati intuitivno, po možnosti blizu 0, da bi ocenili funkcijo in našli spremembe znakov:

Če uporabite interval [0, 1], morate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Ker se znak ne spremeni, se postopek ponovi z drugim intervalom.

Če uporabite interval [-1, 0], morate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

V tem intervalu je sprememba znaka: znak f (-1) ≠ znaka f (0), kar pomeni, da je funkcija f (x) = x⁵ + x + 1 ima vsaj en pravi koren "c" v intervalu [-1, 0], tako da je f (c) = 0. Z drugimi besedami, res je, da je x⁵ + x + 1 = 0 ima realno rešitev v intervalu [-1,0].

Reference

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Priročnik za matematiko za inženirje in študente ... Uvodnik MIR.
2. George, A. (1994). Matematika in um. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematična analiza V treh delih ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Učitelji srednjega izobraževanja. Zvezek II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Osnovne lastnosti analize v R. Editores, 20. dec.
6. Piskunov, N. (1980). Diferencialni in integralni račun ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematika za ekonomsko analizo. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Kontinuirana simetrija: od Euclida do Kleina. American Mathematical Soc.