Bernoullijeva teorema Bernoullijeva enačba, aplikacije in rešena vaja

The Bernoullijev izrek, ki opisuje obnašanje tekočine v gibanju, je zapisal matematik in fizik Daniel Bernoulli v svojem delu Hidrodinamika. V skladu z načelom bo imela idealna tekočina (brez trenja ali viskoznosti), ki je v obtoku zaprt kanal, stalno energijo na svoji poti.

Izrek je mogoče izpeljati iz načela ohranjanja energije in celo iz Newtonovega drugega zakona gibanja. Poleg tega Bernoullijevo načelo prav tako navaja, da povečanje hitrosti tekočine pomeni zmanjšanje tlaka, ki mu je izpostavljen, zmanjšanje njegove potencialne energije ali obeh hkrati..

Izrek ima številne in različne aplikacije, tako glede sveta znanosti kot za vsakdanje življenje ljudi.

Njegove posledice so prisotne v moči letal, v dimnikih domov in v industriji, v vodovodnih ceveh, med drugimi področji.

Indeks

• 1 Bernoullijeva enačba
  • 1.1 Poenostavljena oblika
• 2 Aplikacije
• 3 Rešitev vadbe
• 4 Reference

Bernoullijeva enačba

Čeprav je bil Bernoulli tisti, ki je ugotovil, da se tlak zmanjšuje, ko se hitrost toka poveča, je res, da je bil Leonhard Euler dejansko razvil Bernoullijevo enačbo na način, ki je trenutno znan..

V vsakem primeru je Bernoullijeva enačba, ki ni nič drugega kot matematični izraz njegovega izreka, naslednja:

v² ∙ 2/2 + P + ƿ ∙ g = z = konstantna

V tem izrazu je v hitrost tekočine skozi upoštevani odsek, of gostota tekočine, P je tlak tekočine, g je vrednost pospeška gravitacije in z je višina, izmerjena v smeri težnosti.

V Bernoullijevi enačbi je implicitno, da je energija tekočine sestavljena iz treh komponent:

- Kinetična komponenta, ki je posledica hitrosti, pri kateri se tekočina premika.

- Potencialna ali gravitacijska komponenta, ki je posledica višine, na kateri je tekočina.

- Energija tlaka, ki je lastnik tekočine zaradi pritiska, ki mu je izpostavljen.

Po drugi strani pa lahko Bernoullijevo enačbo izrazimo tudi takole:

v₁² Ƿ / 2 + P₁ + ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ / 2 + P₂ + ∙ g ∙ z₂

Ta zadnji izraz je zelo praktičen za analizo sprememb, ki jih ima tekočina, ko se spremeni eden od elementov, ki tvorijo enačbo.

Poenostavljena oblika

V določenih primerih je sprememba izraza ρgz Bernoullijeve enačbe minimalna v primerjavi s tisto, ki jo doživljajo drugi izrazi, zato jo je mogoče zanemariti. To se na primer dogaja v tokovih, ki jih letalo doživlja med letom.

V teh primerih je Bernoullijeva enačba izražena takole:

P + q = P₀

V tem izrazu je q dinamični tlak in je enak v ² Ƿ ƿ / 2 in P₀ se imenuje skupni tlak in je vsota statičnega tlaka P in dinamičnega tlaka q.

Aplikacije

Bernoullijev izrek ima številne in raznolike aplikacije na različnih področjih, kot so znanost, inženiring, šport itd..

Zanimiva aplikacija je v oblikovanju dimnikov. Dimniki so zgrajeni visoko, da bi dosegli večjo tlačno razliko med podnožjem in izhodom dimnika, zaradi česar je lažje izčrpati zgorevalne pline..

Seveda Bernoullijeva enačba velja tudi za preučevanje gibanja tekočih tokov v ceveh. Iz enačbe sledi, da zmanjšanje prečne površine cevi, da se poveča hitrost tekočine, ki poteka skozi to, pomeni tudi zmanjšanje tlaka.

Bernoullijeva enačba se uporablja tudi v letalstvu in v vozilih Formule 1. V primeru letalstva je Bernoullijev učinek izvor podpore zrakoplovom..

Krila letala so zasnovana z namenom doseganja večjega pretoka zraka v zgornjem delu krila.

Tako je v zgornjem delu krila hitrost zraka visoka in zato nižji. Ta razlika v tlaku povzroči silo, usmerjeno navpično navzgor (sila dviganja), ki omogoča, da se letala držijo v zraku. Podoben učinek dobimo tudi v krilcih Formule 1.

Določena vaja

Skozi cev s presekom 4,2 cm² tok vode teče s 5.18 m / s. Voda se spušča z višine 9,66 m na nižjo raven z višino nič, medtem ko se prečna površina cevi povečuje na 7,6 cm.².

a) Izračunajte hitrost pretoka vode na nižji ravni.

b) Določite tlak v spodnjem nivoju in se zavedajte, da je tlak v zgornjem nivoju 152000 Pa.

Rešitev

a) Ker je treba tok ohraniti, je izpolnjeno naslednje:

Q_{na najvišji ravni} = Q_{nižji ravni}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Čiščenje, boste dobili:

v₂ = 2,86 m / s

b) Uporaba Bernoullijevega teorema med dvema nivojema in upoštevanje, da je gostota vode 1000 kg / m³ , dobiš to:

v₁² Ƿ / 2 + P₁ + ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ / 2 + P₂ + ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Čiščenje P₂ pridete do:

P₂ = 257926,4 Pa

Reference

1. Bernoullijevo načelo. (n.d.). V Wikipediji. Pridobljeno 12. maja 2018, iz es.wikipedia.org.
2. Bernoullijevo načelo. (n.d.). V Wikipediji. Pridobljeno 12. maja 2018, z en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Uvod v dinamiko tekočin. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). Hidrodinamika (6. izd.). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mehanika uporabljenih tekočin (4. izd.). Mehika: Pearson Education.