Razlaga Bayesovega izreka, aplikacije, vaje



The Bayesov izrek je postopek, ki nam omogoča, da izrazimo pogojno verjetnost naključnega dogodka A, podano B, v smislu verjetnostne porazdelitve dogodka B, podanega A, in verjetnostne porazdelitve samo A.

Ta izrek je zelo koristen, ker zahvaljujoč temu lahko povežemo verjetnost, da se zgodi dogodek A, vedoč, da je prišlo do B, z verjetnostjo, da pride do nasprotnega, to je, da se B pojavi z A.

Bayesov izrek je bil srebrni predlog velečasnega Thomasa Bayesa, angleškega teologa iz 18. stoletja, ki je bil tudi matematik. Bil je avtor več del v teologiji, vendar je trenutno znan po nekaj matematičnih razprav, med katerimi izstopa prej omenjeni Bayesov teorem..

Bayes je obravnaval ta izrek v članku z naslovom "Esej k reševanju problema v doktrini možnosti", objavljenem leta 1763, in na katerem so bila razvita velika dela za reševanje problema v doktrini možnosti. Študije z aplikacijami na različnih področjih znanja.

Indeks

  • 1 Razlaga
  • 2 Uporaba Bayesove izreke
    • 2.1 Rešene vaje
  • 3 Reference

Razlaga

Prvič, za nadaljnje razumevanje tega izreka so potrebni nekateri osnovni pojmi teorije verjetnosti, zlasti multiplikacijski izrek za pogojno verjetnost, ki navaja, da

Za E in A so poljubni dogodki vzorčnega prostora S.

In definicija particij, ki nam pove, da če imamo A1 ,A2,..., An dogodki vzorčnega prostora S, ti tvorijo particijo S, če je Ai se medsebojno izključujejo in njihova unija je S.

Ob tem naj bo B še en dogodek. Potem lahko vidimo B kot

Kjer je Ai vmesni dogodki.

In posledično,

Nato uporabimo teorem množenja

Po drugi strani pa je pogojna verjetnost Ai za B definirana z

Ustrezno zamenjati moramo za vsako i

Uporaba Bayesove izreke

Zaradi tega so raziskovalne skupine in različne korporacije uspele izboljšati sisteme, ki temeljijo na znanju.

Na primer, pri preučevanju bolezni lahko Bayesov izrek pomaga razbrati verjetnost, da bo bolezen najdena v skupini ljudi z dano značilnostjo, pri čemer bodo upoštevani podatki o globalnih stopnjah bolezni in prevladi omenjenih značilnosti v zdravi in ​​bolni.

Po drugi strani pa je v svetu visokih tehnologij vplivalo na velika podjetja, ki so s tem rezultatom razvila programsko opremo "Based on Knowledge"..

Kot vsakdanji primer imamo pomočnika Microsoft Officea. Bayesov izrek pomaga programski opremi pri ocenjevanju problemov, ki jih uporabnik predstavi in ​​določi, kakšen nasvet naj zagotovi in ​​tako lahko ponudi boljšo storitev glede na navade uporabnika..

Treba je opozoriti, da je bila ta formula do nedavnega prezrta, predvsem zaradi dejstva, da ko je bil ta rezultat razvit pred 200 leti, za njih ni bilo praktične uporabe. Vendar pa so v našem času, zahvaljujoč velikim tehnološkim napredkom, znanstveniki dosegli načine, da bi ta rezultat uporabili v praksi.

Rešene vaje

Vaja 1

Mobilno podjetje ima dva stroja A in B. 54% proizvedenih mobilnih telefonov je izdelanih s strojem A, ostalo pa s strojem B. Vsi proizvedeni mobilni telefoni niso v dobrem stanju..

Delež okvarjenih mobilnih telefonov, ki jih proizvede A, je 0,2, za B pa 0,5. Kakšna je verjetnost, da je mobilni telefon omenjene tovarne okvarjen? Kakšna je verjetnost, da, vedoč, da je mobilni telefon okvarjen, prihaja iz stroja A?

Rešitev

Tukaj imate poskus, ki je narejen v dveh delih; v prvem delu se zgodijo dogodki:

A: mobilni telefon, izdelan s strojem A.

B: mobilni telefon, izdelan s strojem B.

Ker stroj A proizvede 54% mobilnih telefonov, ostalo pa proizvaja stroj B, stroj B proizvede 46% mobilnih telefonov. Podane so verjetnosti teh dogodkov, in sicer:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Dogodki drugega dela poskusa so:

D: okvarjena celica.

E: nepopolna celica.

Kot je navedeno v izjavi, so verjetnosti teh dogodkov odvisne od rezultata, dobljenega v prvem delu:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Z uporabo teh vrednosti lahko določite tudi verjetnosti dopolnil teh dogodkov, in sicer:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0,8

in

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0,5.

Zdaj lahko dogodek D zapišemo takole:

Z uporabo množilnega izreka za pogojno verjetnost dobimo:

S katerim se odgovori na prvo vprašanje.

Zdaj moramo samo izračunati P (A | D), za katerega velja Bayesova teorema:

Zahvaljujoč Bayesovi teoremi lahko rečemo, da je verjetnost, da je mobilni telefon izdelal stroj A, vedoč, da je mobilni telefon pokvarjen, 0,319.

Vaja 2

Tri škatle vsebujejo bele in črne kroglice. Sestava vsakega od njih je naslednja: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Ena od polj je izbrana naključno in iz nje se izvleče naključna žoga, ki se izkaže, da je bela. Katera je najverjetneje izbrana?

Rešitev

Preko U1, U2 in U3 bomo predstavili tudi izbrano polje.

Ti dogodki predstavljajo razdelitev S in se preveri, ali je P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, ker je izbira polja naključna.

Če je B = izločena krogla bela, bomo imeli P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Želimo pridobiti verjetnost, da je bila žoga vzeta iz škatle Ui, ker je vedela, da je žoga bela, to je P (Ui | B) in da vidimo, katera od treh vrednosti je bila najvišja, da bi vedela, katera škatla je najverjetneje izvleček bele krogle.

Uporaba Bayesovega izreka za prvo od polj:

In za druga dva:

P (U2 | B) = 2/6 in P (U3 | B) = 1/6.

Potem je prva škatla tista, ki ima večjo verjetnost, da je bila izbrana za odvzem bele krogle.

Reference

  1. Kai Lai Chung Elementarna teorija uporabnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. S.A. MEKSIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problematika reševanja diskretne matematike. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorija in problemi verjetnosti. McGRAW-HILL.