Osnove vektorske algebre, velikosti, vektorji



The vektorska algebra je veja matematike, odgovorna za proučevanje sistemov linearnih enačb, vektorjev, matrik, vektorskih prostorov in njihovih linearnih transformacij. Povezana je s področji, kot so inženiring, reševanje diferencialnih enačb, funkcionalna analiza, raziskovanje delovanja, računalniška grafika, med drugim..

Drugo področje, ki je sprejelo linearno algebro, je fizika, saj je bila s tem razvita za proučevanje fizikalnih pojavov, ki jih opisujejo z uporabo vektorjev. To je omogočilo boljše razumevanje vesolja.

Indeks

  • 1 Osnove
    • 1.1 Geometrično
    • 1.2 Analitično
    • 1.3 Aksiomatsko
  • 2 Velikosti
    • 2.1 Skalarna velikost
    • 2.2 Velikost vektorja
  • 3 Kaj so vektorji?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Naslov
    • 3.3 Smisel
  • 4 Klasifikacija vektorjev
    • 4.1 Fiksni vektor
    • 4.2 Prosti vektor
    • 4.3 Drsni vektor
  • 5 Lastnosti vektorjev
    • 5.1 equipolentes Vektorji
    • 5.2 Ekvivalentni vektorji
    • 5.3 Enakost vektorjev
    • 5.4 Nasproti vektorji
    • 5.5 Vektorska enota
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Komponente vektorja
    • 6.1 Primeri
  • 7 Operacije z vektorji
    • 7.1 Dodajanje in odštevanje vektorjev
    • 7.2 Razmnoževanje vektorjev
  • 8 Reference

Osnove

Vektorska algebra izvira iz proučevanja kvaternionov (razširitev realnih števil) 1, i, j in k, prav tako kartezijanske geometrije, ki so jo promovirali Gibbs in Heaviside, ki so spoznali, da bodo vektorji služili kot instrument za predstavljajo različne fizikalne pojave.

Vektorska algebra se preučuje preko treh temeljev:

Geometrično

Vektorji so predstavljeni z linijami, ki imajo usmerjenost, operacije, kot so seštevanje, odštevanje in množenje z realnimi številami, so določene z geometrijskimi metodami..

Analitično

Opis vektorjev in njihovih operacij se opravi s številkami, ki se imenujejo komponente. Ta vrsta opisa je rezultat geometričnega prikaza, ker se uporablja koordinatni sistem.

Aksiomatsko

Izdelan je opis vektorjev, ne glede na koordinatni sistem ali katerikoli tip geometrijske reprezentacije.

Proučevanje številk v prostoru poteka s pomočjo njihove predstavitve v referenčnem sistemu, ki je lahko v eni ali več dimenzijah. Med glavnimi sistemi so:

- Enodimenzionalni sistem, ki je črta, kjer ena točka (O) predstavlja izvor, druga točka (P) pa določa lestvico (dolžino) in njeno smer:

- Pravokotni koordinatni sistem (dvodimenzionalni), ki je sestavljen iz dveh pravokotnih linij, imenovanih osi x in osi y, ki potekajo skozi točko (O) izvora; na ta način je ravnina razdeljena na štiri regije, ki se imenujejo kvadranti. V tem primeru je točka (P) v ravnini določena z razdaljami, ki obstajajo med osmi in P.

- Polarni koordinatni sistem (dvodimenzionalni). V tem primeru je sistem sestavljen iz točke O (izvor), ki se imenuje pol in žarek z izvorom O, imenovan polarna os. V tem primeru je točka P ravnine glede na pol in polarno os podana s kotom (,), ki ga tvori razdalja med začetkom in točko P.

- Pravokotni tridimenzionalni sistem, ki ga tvorijo tri pravokotne črte (x, y, z), ki imajo kot izvor točko O v prostoru. Nastanejo tri koordinatne ravnine: xy, xz in yz; prostor bo razdeljen na osem območij, imenovanih oktanti. Referenca točke P prostora je podana z razdaljami, ki obstajajo med ravninama in P.

Velikosti

Velikost je fizikalna količina, ki jo je mogoče šteti ali meriti s številčno vrednostjo, kot v primeru nekaterih fizičnih pojavov; kljub temu je pogosto treba opisati te pojave z drugimi dejavniki, ki niso številčni. Zato so magnitude razvrščene v dve vrsti:

Skalarna velikost

To so tiste količine, ki so opredeljene in predstavljene numerično; to je z modulom skupaj z mersko enoto. Na primer:

a) Čas: 5 sekund.

b) Masa: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ° C.

Vektorska jakost

To so tiste količine, ki jih definira in predstavlja modul skupaj z enoto, pa tudi smisel in smer. Na primer:

a) Hitrost: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Pospešek: 13 m / s2; S 45 ° E.

c) Sila: 280 N, 120 °.

d) Teža: -40-kg-f.

Vektorske magnitude so grafično predstavljene z vektorji.

Kaj so vektorji?

Vektorji so grafični prikazi vektorske velikosti; to pomeni, da so segmenti ravne črte, kjer je njihov končni konec konica puščice.

Določajo jih njihova dolžina modula ali segmenta, njihov občutek, ki ga kaže konica puščice in njihova smer glede na črto, ki ji pripadajo. Izvor vektorja je znan tudi kot točka uporabe.

Elementi vektorja so naslednji:

Modul

To je razdalja od začetka do konca vektorja, ki jo predstavlja realno število skupaj z enoto. Na primer:

| OM | = | = A = 6 cm

Naslov

To je merilo kota, ki obstaja med osjo x (od pozitivnega) in vektorjem, kot tudi kardinalne točke (sever, jug, vzhod in zahod)..

Sense

Podan je s puščico, ki se nahaja na koncu vektorja in kaže, kje je to.

Razvrstitev vektorjev

Vektorji so na splošno razvrščeni kot:

Fiksni vektor

To je tista, katere točka uporabe (izvor) je določena; to pomeni, da ostane vezana na točko prostora, razlog, zakaj v njem ni mogoče zamakniti.

Prosti vektor

Lahko se prosto giblje v prostoru, ker se njegov izvor pomakne na katero koli točko, ne da bi spremenil svoj modul, smisel ali smer.

Drsni vektor

To je tisti, ki lahko svoj izvor premika po svoji liniji delovanja, ne da bi spremenil svoj modul, smisel ali smer.

Lastnosti vektorjev

Med glavnimi lastnostmi vektorjev so:

Equipolentes vektorji

To so tisti prosti vektorji, ki imajo isti modul, smer (ali so vzporedni) in občutijo, da drsni vektor ali fiksni vektor.

Enakovredni vektorji

To se zgodi, če imata dva vektorja isti naslov (ali sta vzporedna), isti pomen in kljub različnim modulom in točkama uporabe povzročata enake učinke.

Enakost vektorjev

Imajo enak modul, smer in smisel, čeprav so njihova izhodišča različna, kar omogoča, da se vzporedni vektor premika sam, ne da bi to vplival..

Nasproti vektorji

So tisti, ki imajo isti modul in smer, vendar je njihov smisel nasproten.

Vektorska enota

To je tisti, v katerem je modul enak enoti (1). To se doseže z deljenjem vektorja z njegovim modulom in se uporablja za določanje smeri in občutka vektorja, bodisi v ravnini ali v prostoru, z uporabo osnovnega ali enotiranega normaliziranega vektorja, ki so:

Null vektor

Je tisti, katerega modul je enak 0; to pomeni, da njihova točka izvora in skrajnost sovpadata v isti točki.

Komponente vektorja

Komponente vektorja so tiste vrednosti projekcij vektorja na osi referenčnega sistema; Odvisno od dekompozicije vektorja, ki je lahko v dveh ali tridimenzionalnih oseh, se pridobi dve ali tri komponente..

Komponente vektorja so realna števila, ki so lahko pozitivna, negativna ali celo ničla (0).

Torej, če imamo vektor Ā, ki izhaja iz pravokotnega koordinatnega sistema v xy (dvodimenzionalni) ravnini, je projekcija na osi x Āx, projekcija na os y pa Āy. Tako bo vektor izražen kot vsota njegovih komponentnih vektorjev.

Primeri

Prvi primer

Imamo vektor Ā, ki se začne od izvora in podajajo koordinate njegovih koncev. Tako je vektor Ā = (Āx; Ain) = (4; 5) cm.

Če vektor Ā deluje na izvoru tridimenzionalnega trikotnega koordinatnega sistema (v prostoru) x, y, z, na drugo točko (P), bodo projekcije na njegovih oseh Āx, Āy in ;z; tako bo vektor izražen kot vsota treh komponentnih vektorjev.

Drugi primer

Imamo vektor Ā, ki se začne od izvora in podajajo koordinate njegovih koncev. Tako je vektor Ā = (Ax; Ain; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektorje, ki imajo svoje pravokotne koordinate, se lahko izrazijo v obliki njihovih osnovnih vektorjev. Za to se mora vsaka koordinata pomnožiti z ustreznim vektorjem enote, tako da bodo za ravnino in prostor naslednji:

Za ravnino: Ā = Axi + Ainj.

Za prostor: A = Axi + Ainj + Azk.

Operacije z vektorji

Obstaja veliko velikosti, ki imajo modul, smisel in smer, kot so pospeševanje, hitrost, premik, sila, med drugim..

Te se uporabljajo na različnih področjih znanosti in za njihovo uporabo je v nekaterih primerih potrebno izvajati operacije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in delitev vektorjev in skalarjev..

Dodajanje in odštevanje vektorjev

Dodajanje in odštevanje vektorjev se šteje za eno algebrsko operacijo, ker lahko odštevanje zapišemo kot vsoto; na primer, odštevanje vektorjev Ē in Ē se lahko izrazi kot:

Ē - Ē = Ā + (-Ē)

Obstajajo različne metode za izvajanje seštevanja in odštevanja vektorjev: lahko so grafični ali analitični.

Grafične metode

Uporablja se, kadar ima vektor modul, smisel in smer. V ta namen se narišejo črte, ki tvorijo sliko, ki kasneje pomaga določiti posledično. Med najbolj znanimi izstopajo:

Metoda paralelograma

Za dodajanje ali odštevanje dveh vektorjev izberemo skupno točko na koordinatni osi, ki predstavlja točko izvora vektorjev, ohranjanje modula, smeri in smeri..

Potem so linije narisane vzporedno z vektorji, da tvorijo paralelogram. Dobljeni vektor je diagonala, ki zapusti točko izvora obeh vektorjev, dokler ni tocka paralelograma:

Metoda trikotnika

Pri tej metodi so vektorji postavljeni drug ob drugem, pri čemer ohranjajo svoje module, smeri in smeri. Dobljeni vektor bo enota izvora prvega vektorja s koncem drugega vektorja:

Analitične metode

Dodate ali odštejete dva ali več vektorjev z geometrijsko ali vektorsko metodo:

Geometrijska metoda

Kadar dva vektorja tvorita trikotnik ali paralelogram, lahko modul in smer dobljenega vektorja določimo z uporabo zakonitosti sinusnega in kosinusnega. Modul dobljenega vektorja, ki uporablja zakon kosinusa in trikotnika, je podan z:

V tej formuli je β kot nasproti strani R in je enak 180 ° - Ɵ.

Nasprotno pa je s pomočjo metode paralelograma dobljeni vektorski modul:

Smer dobljenega vektorja je podana pod kotom (α), ki nastane kot rezultat enega od vektorjev.

Po zakonu sinusa se lahko dodatek ali odštevanje vektorjev izvede tudi s trikotnikom ali metodo paralelograma, pri čemer se zavedajo, da so stranice v vsakem trikotniku sorazmerne prsam kotov:

Vektorska metoda

To je mogoče storiti na dva načina: odvisno od pravokotnih koordinat ali njihovih osnovnih vektorjev.

To se lahko izvede s prenosom vektorjev, ki jih je treba dodati ali odšteti na izvor koordinat, nato pa na vse projekcije na vsaki osi za ravnino (x, y) ali prostor (x, in z); končno se njene komponente dodajo algebraično. Torej za letalo je:

Modul dobljenega vektorja je:

Medtem ko je za prostor:

Modul dobljenega vektorja je:

Pri izvajanju vektorskih vsot se uporabi več lastnosti, ki so:

- Povezovalna lastnost: rezultanta se ne spremeni tako, da se najprej doda dva vektorja in nato doda tretji vektor.

- Komutativna lastnost: vrstni red vektorjev ne spremeni rezultata.

- Vektorska razdelitvena lastnost: če je skalar pomnožen z vsoto dveh vektorjev, je enak množenju skalarja za vsak vektor.

- Skalarna distribucijska lastnost: če je vektor pomnožen z vsoto dveh skalarjev, je enak množenju vektorja za vsak skalar.

Množenje vektorjev

Množenje ali produkt vektorjev je mogoče narediti kot dodatek ali odštevanje, vendar pri tem izgubi fizični pomen in je skoraj nikoli ne najdemo v aplikacijah. Zato so na splošno najbolj uporabljene vrste izdelkov skalarni in vektorski izdelek.

Skalarni izdelek

Znan je tudi kot točkovni produkt dveh vektorjev. Ko se moduli dveh vektorjev pomnožita s kosinusom manjšega kota, ki nastane med njimi, dobimo skalar. Za postavitev skalarnega izdelka med dvema vektorjema je med njimi točka, ki jo lahko definiramo kot:

Vrednost kota, ki obstaja med dvema vektorjema, bo odvisna od tega, ali so vzporedni ali pravokotni; Torej morate:

- Če so vektorji vzporedni in imajo enak smisel, je kosinus 0º = 1.

- Če so vektorji vzporedni in imajo nasprotna čutila, je kosinus 180º = -1.

- Če so vektorji pravokotni, kosinus 90 ° = 0.

Ta kot se lahko izračuna tudi ob upoštevanju, da:

Skalarni izdelek ima naslednje lastnosti:

- Komutativna lastnost: vrstni red vektorjev ne spremeni skalarja.

-Distributivna lastnost: če je skalar pomnožen z vsoto dveh vektorjev, je enak množenju skalarja za vsak vektor.

Vektorski izdelek

Vektorsko množenje ali navzkrižni produkt dveh vektorjev A in B bo imelo za posledico nov vektor C in se izrazi s križanjem med vektorji:

Novi vektor bo imel svoje značilnosti. Na ta način:

- Smer: ta novi vektor bo pravokoten na ravnino, ki jo določajo prvotni vektorji.

- Smisel: to je določeno s pravilom desne roke, kjer je vektor A obrnjen proti B z usmerjanjem smeri vrtenja s prsti in s palcem je označen smisel vektorja..

- Modul: določimo z množenjem modulov vektorjev AxB, s sinusom najmanjšega kota, ki obstaja med temi vektorji. Izraženo je:

Vrednost kota, ki obstaja med dvema vektorjema, bo odvisna od tega, ali so vzporedni ali pravokotni. Potem je mogoče potrditi naslednje:

- Če so vektorji vzporedni in imajo enak smisel, je sin 0º = 0.

- Če so vektorji vzporedni in imajo nasprotna čutila, sinus 180 ° = 0.

- Če so vektorji pravokotni, je sinus 90 ° = 1.

Kadar je vektorski produkt izražen kot njegovi osnovni vektorji, mora:

Skalarni izdelek ima naslednje lastnosti:

- To ni komutativno: vrstni red vektorjev spreminja skalar.

- Distributivna lastnost: če je skalar pomnožen z vsoto dveh vektorjev, je enak množenju skalarja za vsak vektor.

Reference

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Enostavna linearna regresija." Naravne metode .
  2. Angel, A. R. (2007). Osnovna algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr v Vectorial v primerih. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Linearna algebra in njene aplikacije. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Linearna algebra: vektorski prostor. Euklidski vektorski prostor. Univerza v Alicanteju.
  7. Mora, J. F. (2014). Linearna algebra Domovinsko.