Izvor matematične logike, kakšne študije, vrste



The matematična logika ali simbolna logika je matematični jezik, ki vključuje potrebna orodja, s katerimi se lahko potrdi ali zavrne matematično sklepanje..

Znano je, da v matematiki ni dvoumnosti. Glede na matematični argument je to veljavno ali pa preprosto ni. Ne more biti hkrati napačna in resnična.

Poseben vidik matematike je, da ima formalni in strog jezik, s katerim je mogoče določiti veljavnost sklepanja. Kaj je tisto, zaradi česar so nekateri argumenti ali kateri koli matematični dokazi neobhodni? To je matematična logika.

Zato je logika disciplina matematike, ki je odgovorna za preučevanje matematičnega razmišljanja in demonstracij, in zagotavlja orodja, ki omogočajo sklepanje pravilnega sklepa iz prejšnjih izjav ali predlogov..

V ta namen uporablja aksiome in druge matematične vidike, ki bodo razviti kasneje.

Indeks

  • 1 Izvor in zgodovina
    • 1.1 Aristotel
  • 2 Študije matematične logike?
    • 2.1 Predlogi
    • 2.2 Tabele resnice
  • 3 Vrste matematične logike
    • 3.1 Območja
  • 4 Reference

Izvor in zgodovina

Natančni datumi v zvezi z mnogimi vidiki matematične logike so negotovi. Vendar pa večina bibliografij na to temo izvira iz antične Grčije.

Aristotel

Začetek strogega obravnavanja logike je deloma pripisan Aristotelu, ki je napisal niz logičnih del, ki so jih pozneje zbirali in razvijali različni filozofi in znanstveniki vse do srednjega veka. To bi lahko šteli za "staro logiko"..

Potem, v tako imenovani sodobni dobi, Leibniz, ki ga poganja globoka želja po vzpostavitvi univerzalnega jezika za matematično razlago in druge matematike, kot sta Gottlob Frege in Giuseppe Peano, sta vplivala predvsem na razvoj matematične logike z velikim prispevkom. med njimi so Aksiomi Peano, ki oblikujejo nepogrešljive lastnosti naravnih števil.

Matematiki George Boole in Georg Cantor sta prav tako imeli velik vpliv v tem času, s pomembnimi prispevki v teoriji množic in tabel resnice, ki med drugim poudarjajo Boolovo algebru (George Boole) in Aksiom izbire (George Cantor).

Obstaja tudi Augustus De Morgan z znanimi zakoni Morgana, ki razmišljajo o zavrnitvah, veznicah, ločitvah in pogojih med predlogi, ključi za razvoj simbolne logike in Janeza Venna s slavnimi Venovimi diagrami..

V 20. stoletju, približno med letoma 1910 in 1913, Bertrand Russell in Alfred North Whitehead izstopata z objavo Principia mathematica, niz knjig, ki zbirajo, razvijajo in postavljajo niz aksiomov in logičnih rezultatov.

Kakšne študije matematične logike?

Predlogi

Matematična logika se začne s preučevanjem trditev. Predlog je trditev, da brez kakršne koli dvoumnosti lahko rečemo, če je resnična ali ne. Sledijo primeri predlogov:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Leta 1930 je v Evropi prišlo do potresa.

Prvi je resničen predlog, drugi pa je napačen predlog. Tretji, čeprav je možno, da oseba, ki jo bere, ne ve, ali je res ali takoj, je izjava, ki jo je mogoče preveriti in ugotoviti, če se je res zgodilo ali ne.

V nadaljevanju so navedeni primeri izrazov, ki niso predlogi:

  • Ona je blondinka.
  • 2x = 6.
  • Igrajmo!
  • Ali vam je všeč kino?

V prvem predlogu ni določeno, kdo je "ona", zato se nič ne more potrditi. V drugem predlogu to, kar predstavlja "x", ni bilo določeno. Če bi namesto tega rekli, da je 2x = 6 za neko naravno število x, bi v tem primeru ustrezalo predlogu, v resnici resnično, ker je za x = 3 izpolnjen.

Zadnji dve izjavi se ne ujemata s predlogom, saj ju ni mogoče zanikati ali potrditi.

Dve ali več predlogov je mogoče kombinirati (ali povezati) z uporabo znanih povezovalnih konektorjev (ali priključkov). To so:

  • Zavrni: »Ni deževalo«.
  • Disjunkcija: "Luisa je kupila belo ali sivo vrečko".
  • Povezava: "42= 16 in 2 × 5 = 10 ".
  • Pogojno: "Če dežuje, potem popoldne ne grem v telovadnico".
  • Biconditional: "Danes popoldne grem v telovadnico, in samo če ne dežuje".

Trditev, ki nima nobenega prejšnjega veznega, se imenuje preprosta trditev (ali atomska). Na primer, "2 je manj kot 4", je preprost predlog. Predlogi, ki imajo nekaj veznega, se imenujejo sestavljeni predlogi, kot na primer "1 + 3 = 4 in 4 je parno število".

Izjave, ki jih podajamo s predlogi, so običajno dolge, zato jih je težko zapisati vedno tako, kot smo doslej videli. Zato se uporablja simbolni jezik. Predlogi so navadno predstavljeni z velikimi črkami, kot so P, Q, R, S, itd. In simbolična povezava, kot sledi:

Tako da

The vzajemno pogojnega predloga

je predlog

In nasprotovanje (ali kontrapositivno) predloga

je predlog

Tabele resnice

Drug pomemben koncept logike je, da je tabela resnice. Vrednosti resnice za predlog so dve možnosti, ki sta na voljo za trditev: resnica (ki bo označena z V in njena resnična vrednost naj bi bila V) ali napačna (ki bo označena s F in njena vrednost bo povedana) res je F).

Vrednost resnice sestavljenega predloga je odvisna izključno od resničnih vrednosti preprostih predlogov, ki se pojavljajo v njej.

Če želimo delovati bolj splošno, ne bomo upoštevali posebnih predlogov, temveč predloge p, q, r, s, itd., ki bodo predstavljali kakršne koli predloge.

S temi spremenljivkami in logičnimi povezovalci se oblikujejo dobro znane formulacije formulacij, tako kot so sestavljeni sestavljeni stavki.

Če je vsaka od spremenljivk, ki se pojavijo v propozicijski formuli, nadomeščena s predlogom, se pridobi kompozitni predlog.

Spodaj so tabele resnice za logične povezave:

Obstajajo predlogi formule, ki prejmejo samo vrednost V v svoji tabeli resnice, kar pomeni, da ima zadnji stolpec njihove tabele resnice samo vrednost V. Ta vrsta formul je znana kot tautologija. Na primer:

V nadaljevanju je tabela resnice formule

Pravijo, da formula α logično implicira drugo formulo β, če je α res vsakič, ko je β resnična. To pomeni, da je v tabeli resnice za α in β vrstice, v katerih ima a a V, β prav tako V. Samo zanimive so vrstice, v katerih ima α vrednost V. Oznaka za logično implikacijo je naslednja: :

Naslednja tabela povzema lastnosti logične implikacije:

Rečeno je, da sta dve predlagalni formuli logično enakovredni, če sta njuni tabeli resnic identični. Naslednji zapis se uporablja za izražanje logične enakovrednosti:

Naslednje tabele povzemajo lastnosti logične enakovrednosti:

Vrste matematične logike

Obstajajo različne vrste logike, zlasti če upoštevamo pragmatično ali neformalno logiko, ki kaže na filozofijo, med drugimi področji.

Kar se tiče matematike, je mogoče vrste logike povzeti na naslednji način:

  • Formalna ali aristotelska logika (antična logika).
  • Propozicijska logika: je odgovorna za proučevanje vsega, kar je povezano z veljavnostjo argumentov in predlogov, ki uporabljajo formalni jezik in tudi simbolično.
  • Simbolna logika: osredotočena na proučevanje množic in njihovih lastnosti, tudi s formalnim in simbolnim jezikom, in je globoko povezana s predlogom logike.
  • Kombinatorna logika: ena od nedavno razvitih, vključuje rezultate, ki jih lahko razvijemo z algoritmi.
  • Logično programiranje: uporablja se v različnih paketih in programskih jezikih.

Območja

Med področji, ki matematično logiko uporabljajo na nepogrešljiv način pri razvoju njihovega razmišljanja in argumentov, poudarjajo filozofijo, teorijo množic, teorijo števil, konstruktivno algebrsko matematiko in programske jezike..

Reference

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, množice in številke. Merida - Venezuela: Svet za publikacije, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod v teorijo števil. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Osnovni predmet teorije števil. Univerza na severu.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematično logično razlago. Univerza Uvodnik.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorija števil. Knjige o uredniški viziji.