Morganovi zakoni



IMorganove oči gre za pravila sklepanja, ki se uporabljajo v predpostavki logike, ki določajo, kaj je rezultat zanikanja disjunkcije in konjunkcije predlogov ali propozicijskih spremenljivk. Te zakone je definiral matematik Augustus De Morgan.

Morganovi zakoni so zelo uporabno orodje za dokazovanje veljavnosti matematičnega razmišljanja. Kasneje so bili posplošeni v okviru koncepta matematika Georgea Booleja.

Ta generalizacija, ki jo je naredil Boole, je popolnoma enaka Morganovim prvotnim zakonitostim, vendar je razvita posebej za sklope in ne za predloge. Ta posplošitev je znana tudi kot Morganovi zakoni.

Indeks

  • 1 Pregled predlagane logike
    • 1.1 Napačnost
    • 1.2 Predlogi
  • 2 Morganovi zakoni
    • 2.1 Predstavitev
  • 3 Kompleti
    • 3.1 Unija, presečišče in dopolnitve nizov
  • 4 Morganovi zakoni za komplete
  • 5 Reference

Pregled predlagateljske logike

Preden pogledamo, kakšni so Morganovi zakoni in kako se uporabljajo, je primerno spomniti se nekaterih osnovnih pojmov propozicijske logike. (Za več podrobnosti glej članek s predlogom).

Na področju matematične (ali propozicijske) logike je sklep sklep, ki se oddaja iz niza prostorov ali hipotez. Ta zaključek, skupaj z omenjenimi predpostavkami, povzroči, kaj je znano kot matematično razmišljanje.

To utemeljitev mora biti mogoče dokazati ali zavrniti; to pomeni, da niso vsi sklepi ali zaključki v matematičnem razmišljanju veljavni.

Slabost

Napačen sklep, ki izhaja iz nekaterih predpostavk, za katere se domneva, da so resnične, je znan kot zmota. Slabosti imajo posebnost, da so argumenti pravilni, toda matematično niso.

Propozicijska logika je odgovorna za natančno razvijanje in zagotavljanje metod, s katerimi se lahko brez dvoumnosti potrdi ali zavrne matematično razmišljanje; to pomeni, da sklepamo iz veljavnih zaključkov iz prostorov. Te metode so znane kot pravila sklepanja, katerih del so Morganovi zakoni.

Predlogi

Bistveni elementi predlagateljske logike so predlogi. Predlogi so izjave, o katerih lahko rečemo, ali so veljavni ali ne, vendar ne morejo biti istočasni ali napačni hkrati. V tej zadevi ne sme biti dvoumnosti.

Tako kot se številke lahko kombinirajo z operacijami seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, se lahko predlogi upravljajo z znano povezovalno (ali konektorsko) logično: negacijo (¬, "ne"), disjunkcijo (V). , "O"), veznik (Ʌ, "in"), pogojno (→, "če ..., potem ...") in bikondicionalno (↔, "da, in samo če").

Za bolj splošno delo, namesto da bi upoštevali specifične predloge, upoštevamo propozicijske spremenljivke, ki predstavljajo kakršne koli predloge, in so običajno označene z malimi črkami p, q, r, s, itd..

Predlagalna formula je kombinacija propozicijskih spremenljivk preko nekega logičnega veznega. Z drugimi besedami, to je sestava propozicijskih spremenljivk. Običajno so označene z grškimi črkami.

Rečeno je, da predlogalna formula logično implicira drugo, ko je slednja resnična vsakič, ko je prva resnica. To označuje:

Kadar je logična implikacija med dvema predlaganima formulama recipročna - to je, ko je prejšnja implikacija veljavna tudi v nasprotni smeri - se za formule pravi, da so logično enakovredne, in je označena z

Logična enakovrednost je nekakšna enakost med formulacijami v predpostavkah in omogoča, da jo po potrebi zamenjamo za drugo.

Morganovi zakoni

Morganovi zakoni so sestavljeni iz dveh logičnih ekvivalenc med dvema predlogoma, in sicer:

Ti zakoni omogočajo ločevanje negacije disjunkcije ali konjunkcije kot negacije vključenih spremenljivk.

Prvo lahko beremo tako: negacija disjunkcije je enaka konjunkciji negacij. In drugi se glasi takole: negacija konjunkcije je disjunkcija negacij.

Z drugimi besedami, zanikanje disjunkcije dveh propozicijskih spremenljivk je enakovredno konjunkciji negacij obeh spremenljivk. Prav tako je zanikanje konjunkcije dveh propozicijskih spremenljivk enakovredno disjunkciji negacij obeh spremenljivk..

Kot smo že omenili, zamenjava te logične enakovrednosti pomaga prikazati pomembne rezultate, skupaj z drugimi obstoječimi pravili sklepanja. S tem lahko poenostavite mnoge formulacije, tako da so bolj uporabne za delo.

Spodaj je primer matematičnega dokaza, ki uporablja pravila sklepanja, med temi Morganovimi zakoni. Natančneje je prikazano, da formula:

je enakovredno:

Slednje je lažje razumeti in razvijati.

Predstavitev

Treba je omeniti, da je veljavnost Morganovih zakonov mogoče prikazati matematično. Eden od načinov je, če primerjate tabele resnic.

Garniture

Ista pravila sklepanja in pojmi logike, ki se uporabljajo za predloge, se lahko razvijejo tudi glede na množice. To je tisto, kar se imenuje Boolova algebra, po matematiku Georgeu Booleju.

Za razlikovanje primerov je potrebno spremeniti zapis in prenos v množice, vsi pojmi, ki smo jih že videli v predlagalni logiki..

Niz je zbirka predmetov. Nizi so označeni z velikimi črkami A, B, C, X, ... in elementi množice so označeni z malimi črkami a, b, c, x, itd. Kadar element a pripada množici X, je označen z:

Če ne pripada X, je zapis:

Način predstavljanja nizov je, da se njihovi elementi postavijo znotraj ključev. Na primer, niz naravnih števil predstavlja:

Kompleti so lahko predstavljeni tudi brez pisanja izrecnega seznama njihovih elementov. Lahko jih izrazimo v obliki :. Obe točki se glasita "tako, da". Spremenljivka, ki predstavlja elemente niza, se postavi na levo od obeh točk, lastnost ali pogoj, ki ga zadovoljijo, pa se postavi na desno stran. To je:

Na primer, množica celih števil, večjih od -4, se lahko izrazi kot:

Ali enakovredno in okrajšano, kot:

Podobno naslednji izrazi predstavljajo sklope parnih in lihih števil:

Unija, presečišče in dopolnitve nizov

V nadaljevanju bomo videli analoge logičnega veznika v primeru nizov, ki so del osnovnih operacij med nizi.

Unija in križišče

Zveza in presečišče nizov sta določena na naslednji način:

Na primer, razmislite o nizih:

Nato morate:

Komplement

Dopolnitev množice tvorijo elementi, ki ne pripadajo temu nizu (iste vrste, kot je izvirnik). Dopolnilo niza A je označeno z:

Na primer, znotraj naravnega števila je dopolnilo množice parnih števil to kvadratno število in obratno.

Za določitev dopolnitve niza mora biti od začetka jasno, da gre za univerzalni ali glavni sklop elementov, ki se obravnavajo. Na primer, ni enako obravnavati komplementa množice na naravnih številih, ki so na racionalnih.

Naslednja tabela prikazuje razmerje ali analogijo, ki obstaja med operacijami na predhodno določenih sklopih, in povezovalne elemente v predlagalni logiki:

Morganovi zakoni za sklope

Končno, Morganovi zakoni o množicah so:

Z besedami: dopolnilo unije je presečišče dopolnil, dopolnilo križišča pa je združitev dopolnil.

Matematični dokaz prve enakosti bi bil naslednji:

Predstavitev drugega je analogna.

Reference

  1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Uvodnik Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logika, množice in številke. Merida - Venezuela: Svet za publikacije, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod v teorijo števil. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Osnovni predmet teorije števil. Univerza na severu.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematično logično razlago. Univerza Uvodnik.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Teorija števil. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorija števil. Knjige o uredniški viziji.