Metoda sintetične delitve in rešene vaje

The sintetična delitev to je preprost način delitve polinoma P (x) s katerim koli od oblik d (x) = x - c. To je zelo uporabno orodje, saj nam omogoča, da poleg razdelitve polinomov, tudi ocenjujemo polinom P (x) v poljubnem številu c, kar nam natančno pove, če je to število nič ali ne polinoma..

Zahvaljujoč algoritmu delitve vemo, da če imamo dva polinoma P (x) in d (x) niso konstantni, obstajajo polinomi q (x) in r (x) edinstveno, tako da je res, da je P (x) = q (x) d (x) + r (x), kjer je r (x) nič ali manj kot q (x). Ti polinomi so znani kot količnik in ostanek oz.

V primerih, ko je polinom d (x) oblike x-c, nam sintetična delitev daje kratek način ugotavljanja, kdo so q (x) in r (x).

Indeks

• 1 Metoda sintetične delitve
• 2 Vaje rešene
  • 2.1 Primer 1
  • 2.2 Primer 2
  • 2.3 Primer 3
  • 2.4 Primer 4
• 3 Reference

Metoda sintetične delitve

Naj bo P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polinom želimo deliti in d (x) = x-c delitelj. Za delitev po metodi sintetične delitve nadaljujemo na naslednji način:

1 - V prvi vrstici zapišemo koeficiente P (x). Če se katerakoli moč X ne pojavi, kot njen koeficient postavimo ničlo.

2- V drugi vrsti, levo od a_n mesto c in narišejo razdelitvene črte, kot je prikazano na naslednji sliki:

3 - Vodilni koeficient znižujemo na tretjo vrstico.

V tem izrazu b_n-1= a_n

4 - C pomnožimo z vodilnim koeficientom b_n-1 in rezultat se zapiše v drugo vrstico, a stolpec na desni.

5- Dodamo stolpec, kjer smo napisali prejšnji rezultat, in rezultat, ki ga podamo pod to vsoto; to je v istem stolpcu, tretja vrstica.

Z dodajanjem imamo kot rezultat_n-1+c * b_n-1, ki jo bomo zaradi udobnosti poklicali b_n-2

6- Pomnožimo c s prejšnjim rezultatom in rezultat zapišemo v desno v drugo vrstico.

7 Ponovite 5. in 6. korak, dokler ne dosežemo koeficienta a₀.

8- Napišite odgovor; to je količnik in ostanek. Ker izvajamo delitev polinoma stopnje n med polinom stopnje 1, imamo, da je resen količnik stopnje n-1.

Koeficienti polinomov količnikov bodo številke tretje vrstice, razen zadnje, ki bo preostali polinom ali preostanek delitve.

Rešene vaje

Primer 1

Izvedite naslednjo delitev z metodo sintetičnega deljenja:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Rešitev

Najprej napišemo koeficiente dividende, kot sledi:

Potem zapišemo c na levi strani, v drugo vrstico, skupaj z linijami delitve. V tem primeru c = -1.

Znižamo vodilni koeficient (v tem primeru b_n-1 = 1) in jo pomnožimo s -1:

Rezultat vnesemo v desno v drugo vrstico, kot je prikazano spodaj:

V drugi stolpec dodamo številke:

2 pomnožimo s -1 in v tretji stolpec zapišemo rezultat:

V tretji stolpec dodamo:

Analogno nadaljujemo, dokler ne pridemo do zadnjega stolpca:

Tako imamo zadnjo številko, ki jo dobimo, preostanek delitve, preostale številke pa so koeficienti količnika polinoma. To je napisano takole:

Če želimo preveriti, ali je rezultat pravilen, je dovolj, da preverite, ali je izpolnjena naslednja enačba:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tako lahko preverimo, da je dobljeni rezultat pravilen.

Primer 2

Izvedite naslednjo delitev polinomov s sintetično metodo delitve

(7x³-x + 2): (x + 2)

Rešitev

V tem primeru imamo izraz x² se ne pojavi, zato bomo kot koeficient zapisali 0. Torej bi bil polinom podoben 7x³+0x²-x + 2.

Njihove koeficiente zapišemo zaporedoma:

Vrednost C = -2 zapišemo v levo v drugo vrstico in narišemo premice.

Znižujemo vodilni koeficient b_n-1 = 7 in ga pomnožimo z -2, zapišemo njegov rezultat v drugo vrstico na desni.

Dodamo in nadaljujemo, kot smo že pojasnili, dokler ne dosežemo zadnjega kritja:

V tem primeru je ostalo r (x) = - 52 in dobljeni količnik je q (x) = 7x²-14x + 27.

Primer 3

Drug način uporabe sintetične delitve je naslednji: predpostavimo, da imamo polinom P (x) stopnje n in želimo vedeti, kaj je vrednost pri vrednotenju v x = c.

S algoritmom delitve imamo, da lahko napišemo polinom P (x) na naslednji način:

V tem izrazu sta q (x) in r (x) količnik oziroma ostalo. Zdaj, če d (x) = x- c, pri vrednotenju v c v polinomu najdemo naslednje:

Za to moramo najti samo r (x) in to lahko storimo zaradi sintetične delitve.

Na primer, imamo polinom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 in želimo vedeti, kakšna je njegova vrednost pri ocenjevanju v x = 5. Za to izvedemo delitev med P (x) in d (x) = x -5 s sintetično metodo delitve:

Ko so operacije opravljene, vemo, da lahko napišemo P (x) na naslednji način:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Zato moramo pri vrednotenju:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kot lahko vidimo, lahko uporabimo sintetično delitev, da poiščemo vrednost polinoma, ko jo vrednotimo v c, namesto da preprosto nadomestimo c s x. 

Če bi poskusili ovrednotiti P (5) na tradicionalen način, bi morali izvesti nekaj izračunov, ki postanejo dolgočasni.

Primer 4

Algoritem delitve za polinome je prav tako izpolnjen za polinome s kompleksnimi koeficienti in posledično imamo, da metoda sintetične delitve deluje tudi za omenjene polinome. Nato bomo videli primer.

Uporabili bomo metodo sintetične delitve, da pokažemo, da je z = 1+ 2i ničel polinoma P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); to pomeni, da je preostanek delitve P (x) med d (x) = x - z enak nič.

Nadaljujemo kot prej: v prvi vrstici zapišemo koeficiente P (x), nato v drugem zapišemo z in narišemo delitvene črte..

Delitev smo naredili kot prej; to je:

Vidimo, da je ostanek nič; zato sklepamo, da je z = 1+ 2i nič od P (x).

Reference

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Prekalkulacija: graf, numerična, algebrska 7. Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Prenticeova dvorana
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. Ed. Pearson Education.
5. Rdeča Armando O. Algebra 1 6. Ed. Athenaeum.