Porazdelitve diskretnih karakteristik verjetnosti in vaje



The Diskretne porazdelitve verjetnosti so funkcija, ki vsakemu elementu X (S) = x1, x2, ..., xi, ... dodeli, kjer je X podana diskretna slučajna spremenljivka in je S njen vzorčni prostor, verjetnost, da se bo dogodek zgodil. Ta funkcija f od X (S), definirana kot f (xi) = P (X = xi), se včasih imenuje funkcija verjetnostne mase.

Ta masa verjetnosti je ponavadi predstavljena kot tabela. Ker je X diskretna naključna spremenljivka, ima X (S) končno število dogodkov ali števno neskončnost. Med najpogostejšimi diskretnimi porazdelitvami verjetnosti imamo enakomerno porazdelitev, binomsko porazdelitev in Poissonovo porazdelitev.

Indeks

  • 1 Značilnosti
  • 2 Vrste
    • 2.1 Enotna porazdelitev nad n točkami
    • 2.2 Binomska porazdelitev
    • 2.3 Poissonova porazdelitev
    • 2.4 Hipergeometrična porazdelitev
  • 3 Vaje rešene
    • 3.1 Prva vaja
    • 3.2 Druga vaja
    • 3.3 Tretja naloga
    • 3.4 Tretja vaja
  • 4 Reference

Funkcije

Funkcija verjetnostne porazdelitve mora izpolnjevati naslednje pogoje:

Tudi, če X vzame samo končno število vrednosti (na primer x1, x2, ..., xn), potem p (xi) = 0, če i> ny, zato neskončne vrste pogoja b postane končne serije.

Ta funkcija izpolnjuje tudi naslednje lastnosti:

Naj bo B dogodek, povezan z naključno spremenljivko X. To pomeni, da je B vsebovan v X (S). Predvidevam, da je B = xi1, xi2, .... Zato:

Z drugimi besedami: verjetnost dogodka B je enaka vsoti verjetnosti posameznih rezultatov, povezanih z B.

Iz tega lahko sklepamo, da če a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Vrste

Enotna porazdelitev nad n točkami

Rečeno je, da naključna spremenljivka X sledi porazdelitvi, za katero je značilna enakomernost v n točkah, če je vsaki vrednosti dodeljena enaka verjetnost. Njegova masna funkcija je:

Recimo, da imamo eksperiment, ki ima dva možna izida, lahko je metanje kovanca, katerega možni rezultati so obraz ali žig ali izbira cele številke, katere rezultat je lahko celo število ali liho število; ta vrsta eksperimenta je znana kot Bernoullijevi testi.

Na splošno se dva možna izhoda imenujejo uspeh in neuspeh, kjer je p verjetnost uspeha in 1-p neuspeha. Verjetnost x uspehov lahko ugotovimo v n Bernoullijevih testih, ki so neodvisni drug od drugega z naslednjo porazdelitvijo.

Binomska porazdelitev

To je funkcija, ki predstavlja verjetnost pridobitve x uspehov v n neodvisnih Bernoullijevih testih, katerih verjetnost uspeha je str. Njegova masna funkcija je:

Naslednji graf predstavlja funkcijsko maso verjetnosti za različne vrednosti parametrov binomske porazdelitve.

Naslednja distribucija je dobila ime francoskega matematika Simeona Poissona (1781-1840), ki ga je dobil kot mejo binomske porazdelitve..

Poissonova porazdelitev

Rečeno je, da ima naključna spremenljivka X Poissonovo porazdelitev parametra λ, če lahko vzame pozitivno celo število 0,1,2,3, ... z naslednjo verjetnostjo:

V tem izrazu je λ povprečno število, ki ustreza pojavom dogodka za vsako časovno enoto, x pa je število primerov dogodka..

Njegova masna funkcija je:

Naprej, graf, ki predstavlja funkcijo verjetnostne mase za različne vrednosti parametrov Poissonove porazdelitve.

Upoštevajte, da dokler je število uspehov nizko in da je število n preskusov, izvedenih v binomski porazdelitvi veliko, lahko te porazdelitve vedno približamo, saj je Poissonova porazdelitev meja binomske porazdelitve..

Glavna razlika med tema dvema porazdelitvama je ta, da je binomska odvisna od dveh parametrov - n in p -, pa je Poissonova odvisna samo od λ, ki se včasih imenuje intenzivnost porazdelitve..

Do sedaj smo govorili le o porazdelitvi verjetnosti za primere, ko so različni poskusi neodvisni drug od drugega; to je, kadar na rezultat enega ne vpliva kakšen drug rezultat.

Če pride do eksperimentov, ki niso neodvisni, je zelo koristna hipergeometrična porazdelitev.

Hipergeometrična porazdelitev

Naj bo N skupno število objektov končnega niza, od katerih jih lahko na nek način identificiramo, tvorimo podmnožico K, ki jo dopolnjujejo preostali N-k elementi..

Če naključno izberemo n objektov, ima naključna spremenljivka X, ki predstavlja število objektov, ki pripadajo K na teh volitvah, hipergeometrično porazdelitev parametrov N, n in k. Njegova masna funkcija je:

Naslednji graf predstavlja funkcijsko maso verjetnosti za različne vrednosti parametrov hipergeometrične porazdelitve.

Rešene vaje

Prva vaja

Predpostavimo, da je verjetnost, da radijska cev (vstavljena v določeno vrsto opreme) deluje več kot 500 ur, 0,2. Če preizkusimo 20 cevi, kakšna je verjetnost, da bo natančno k od teh delovalo več kot 500 ur, k = 0, 1,2, ..., 20?

Rešitev

Če je X število cevi, ki delujejo več kot 500 ur, bomo domnevali, da ima X binomsko porazdelitev. Potem pa

In tako:

Za k≥11 so verjetnosti manj kot 0,001

Tako lahko vidimo, kako se poveča verjetnost, da ti delci delajo več kot 500 ur, dokler ne doseže najvišje vrednosti (s k = 4) in se nato začne zmanjševati..

Druga vaja

Kovanec je vrgel 6-krat. Ko bo rezultat drag, bomo rekli, da je uspeh. Kakšna je verjetnost, da se dva obraza natančno pojavita?

Rešitev

Za ta primer imamo, da je n = 6 in sta verjetnost uspeha in neuspeha p = q = 1/2

Zato je verjetnost podajanja dveh obrazov (tj. K = 2) od

Tretja vaja

Kakšna je verjetnost, da najdemo vsaj štiri obraze?

Rešitev

Za ta primer imamo k = 4, 5 ali 6

Tretja vaja

Predpostavimo, da je 2% izdelkov, proizvedenih v tovarni, okvarjenih. Poišči verjetnost P, da na vzorcu 100 predmetov obstajajo tri pomanjkljive postavke.

Rešitev

V tem primeru lahko uporabimo binomsko porazdelitev za n = 100 in p = 0,02, pri čemer dobimo kot rezultat:

Ker pa je p majhna, uporabimo Poissonov približek z λ = np = 2. Torej,

Reference

  1. Kai Lai Chung Elementarna teorija uporabnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. S.A. MEKSIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problematika reševanja diskretne matematike. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorija in problemi verjetnosti. McGRAW-HILL.