Aksiomatske značilnosti metode, koraki, primeri



The aksiomatska metoda ali imenovana tudi aksiomatika, je formalni postopek, ki ga uporabljajo znanosti, s katerimi so formulirane izjave ali predlogi, imenovani aksiomi, ki so med seboj povezani z razmerjem odbitnosti in so osnova hipoteze ali pogojev določenega sistema..

To splošno opredelitev je treba oblikovati v okviru evolucije, ki jo je ta metodologija imela skozi zgodovino. Prvič, obstaja starodavna metoda ali vsebina, rojena v stari Grčiji iz Euclida, ki jo je kasneje razvil Aristotel.

Drugič, že v devetnajstem stoletju se je pojavila geometrija z aksiomi, ki se razlikujejo od tistih v Euclidu. In končno, formalna ali moderna aksiomatska metoda, katere največji eksponent je bil David Hilbert.

Ta postopek je bil poleg razvoja skozi čas osnova za deduktivno metodo, uporabljeno v geometriji in logiki, kjer je nastal. Uporablja se tudi v fiziki, kemiji in biologiji.

Uporabljen je bil celo za pravne znanosti, sociologijo in politično ekonomijo. Vendar je trenutno njena najpomembnejša sfera uporabe matematika in simbolna logika ter nekatere veje fizike, kot so termodinamika, mehanika, med drugimi disciplinami..

Indeks

  • 1 Značilnosti 
    • 1.1 Stare aksiomatske metode ali vsebina 
    • 1.2 Neeuklidska aksiomatska metoda
    • 1.3 Moderna ali formalna aksiomatska metoda
  • 2 koraka 
  • 3 Primeri
  • 4 Reference

Funkcije

Čeprav je temeljna značilnost te metode formulacija aksiomov, ti niso vedno obravnavani na enak način.

Obstaja nekaj, ki jih je mogoče definirati in konstruirati na samovoljen način. Drugi pa po modelu, v katerem se upošteva njegova intuitivno zagotovljena resnica.

Da bi natančno razumeli, iz česa je ta razlika in kakšne so njene posledice, je treba pregledati razvoj te metode.

Stara aksiomatska metoda ali vsebina 

To je tista, ki je bila ustanovljena v antični Grčiji okrog 5. stoletja pred našim štetjem. Njegovo področje uporabe je geometrija. Temeljno delo te faze so Euklidovi elementi, čeprav se šteje, da je pred njim, Pitagora, že rodil aksiomatsko metodo..

Tako Grki določena dejstva vzamejo kot aksiome, ne da bi zahtevali kakršen koli logičen dokaz, to je brez potrebe po predstavitvi, saj so za njih samoumevna resnica..

Euclides predstavlja pet aksiomov za geometrijo:

1-Glede na dve točki je vrstica, ki jih vsebuje ali povezuje.

2-Vsak segment se lahko neprekinjeno nadaljuje na neomejeni črti na obeh straneh.

3-Lahko narišete krog, ki ima središče na kateri koli točki in polmeru.

4-Pravi koti so vsi enaki.

5 - Če vzamemo katerokoli ravno črto in katerokoli točko, ki ni v njej, je vzporedna pravica, ki vsebuje to točko. Ta aksiom je pozneje znan kot aksiom vzporednic in je bil izražen tudi kot: na točki zunaj črte je mogoče narisati eno paralelo..

Vendar se Euclid in kasnejši matematiki strinjata, da peti aksiom ni tako jasen intuitivno kot drugi 4. Tudi v času renesanse poskuša sklepati peto od preostalih 4, vendar to ni mogoče..

To je pomenilo, da so že v devetnajstem stoletju tisti, ki so obdržali pet, podpirali evklidsko geometrijo in tiste, ki so zanikali peti, tisti, ki so ustvarili neevklidske geometrije..

Neevklidska aksiomatska metoda

Prav Nikolaj Ivanovič Lobačevski, János Bolyai in Johann Karl Friedrich Gauss vidijo možnost, da brez kontradikcije zgradijo geometrijo, ki izhaja iz sistemov aksiomov, ki se razlikujejo od tistih v Euclidu. To uničuje prepričanje o absolutni ali a priori resnici o aksiomih in teorijah, ki izhajajo iz njih.

Zato se začnejo aksiomi začeti kot izhodišča določene teorije. Tudi tako njihova izbira kot problem njihove veljavnosti na tak ali drugačen način se začenjajo povezovati z dejstvi zunaj aksiomatske teorije..

Na ta način se pojavijo geometrijske, algebrske in aritmetične teorije, zgrajene s pomočjo aksiomatske metode.

Ta faza doseže vrhunec z oblikovanjem aksiomatskih sistemov za aritmetiko, kot je bil Giuseppe Peano leta 1891; geometrijo Davida Huberta leta 1899; izjave in predikatne izračune Alfreda Northa Whiteheada in Bertranda Russella v Angliji leta 1910; aksiomatsko teorijo nizov Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela leta 1908.

Moderna ali formalna aksiomatska metoda

David Hubert je tisti, ki sproži koncepcijo formalne aksiomatske metode in vodi v njen vrh, David Hilbert.

Prav Hilbert je tisti, ki formalizira znanstveni jezik, pri čemer svoje izjave obravnava kot formule ali zaporedja znakov, ki sami po sebi nimajo pomena. V določeni interpretaciji dobijo pomen.

V "Osnove geometrije»Pojasnjuje prvi primer te metodologije. Od tu geometrija postane znanost čistih logičnih posledic, ki so izhajale iz sistema hipotez ali aksiomov, bolje artikuliranih kot evklidski sistem..

To je zato, ker v starem sistemu aksiomatska teorija temelji na dokazih aksiomov. Medtem ko je temelj formalne teorije podan z dokazovanjem neskladnosti njegovih aksiomov.

Koraki

Postopek, ki opravlja aksiomatsko strukturiranje znotraj znanstvenih teorij, priznava:

a-izbira določenega števila aksiomov, to je več predlogov določene teorije, ki so sprejeti brez potrebe po dokazovanju.

b-koncepti, ki so del teh predlogov, niso določeni v okviru dane teorije.

c-pravila za definicijo in sklepanje dane teorije so fiksna in omogočajo uvajanje novih konceptov v teorijo in logično sklepajo nekatere predloge iz drugih teorij..

d-druge trditve teorije, to je izrek, so izpeljane iz a na podlagi c.

Primeri

Ta metoda se lahko preveri z demonstracijo dveh najbolj znanih Euclidovih izrekov: izrek noge in višinski teorem..

Oba izhajata iz opažanja tega grškega geometra, da se, ko je višina narisana glede na hipotenuzo znotraj pravega trikotnika, dva trikotnika pojavijo več kot izvirnik. Ti trikotniki so si podobni in sočasno podobni trikotniku izvora. To predpostavlja, da so njihove homologne strani sorazmerne.

Vidimo lahko, da kongruentni koti v trikotnikih na ta način preverijo podobnost, ki obstaja med tremi trikotniki, ki sodelujejo, glede na kriterij podobnosti AAA. To merilo velja, da sta, kadar dva trikotnika imata vse enake kote, podobna.

Ko so trikotniki podobni, se lahko določijo razmerja, določena v prvem izreku. Navaja, da je v pravem trikotniku meritev vsakega katetusa geometrijsko proporcionalna sredina med hipotenuzo in projekcijo katetusa v njem..

Drugi izrek je višinski. Določa, da je vsak pravokotni trikotnik višina, ki je narisana v skladu s hipotenuzo, geometrijsko proporcionalno povprečje med segmenti, ki jih določa omenjena geometrična sredina na hipotenuzi.

Seveda imata oba teorema številne aplikacije po vsem svetu, ne samo na področju izobraževanja, ampak tudi v inženirstvu, fiziki, kemiji in astronomiji..

Reference

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrija, formalizem in intuicija: David Hilbert in formalna aksiomatska metoda (1895-1905). Magazine Philosophy, letnik 39, št. 2, str. Vzeto iz revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Aksiomatska misel. V W.Ewaldu, uredniku, od Kanta do Hilberta: vir knjige v temeljni matematiki. Zvezek II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Kaj je aksiomatska metoda? Synthese, november 2011, obseg 189, str. 69-85. Vzeto iz link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Uvod v filozofijo sodobnega prava. (str. 48-49). Vzeto iz books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Aksiomatska metoda, ki jo je prebral Ricardo Nirenberg, jesen 1996, Univerza v Albanyju, Project Renaissance. Vzeto iz Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert med formalno in neformalno stranjo matematike. Rokopis vol. 38 št. 2, Campinas julij / avgust 2015. Vzeto iz scielo.br.