Preoblikovana Laplaceova definicija, zgodovina, za kaj gre, lastnosti

The Laplace je bilo v zadnjih letih zelo pomembno v študijah inženirstva, matematike, fizike, med drugimi znanstvenimi področji, kot tudi, da je veliko zanimanje za teoretično, zagotavlja preprost način za reševanje problemov, ki prihajajo iz znanosti in tehnike \ t.

Prvotno je Laplaceovo transformacijo predstavil Pierre-Simon Laplace v svoji študiji o teoriji verjetnosti in se je sprva obravnaval kot matematični predmet le teoretičnega interesa..

Trenutne aplikacije se pojavijo, ko so različni matematiki poskušali dati formalno utemeljitev "operativnim pravilom", ki jih Heaviside uporablja pri študiju enačb elektromagnetne teorije..

Indeks

• 1 Opredelitev
  • 1.1 Primeri
  • 1.2 Teorem (zadostni pogoji za obstoj)
  • 1.3 Laplaceova transformacija nekaterih osnovnih funkcij
• 2 Zgodovina
  • 2.177, Laplace
  • 2.2 Oliver Heaviside
• 3 Lastnosti
  • 3.1 Linearnost
  • 3.2 Izrek prvega prevajanja
  • 3.3 Izrek drugega prevoda
  • 3.4 Sprememba obsega
  • 3.5 preoblikovanje Laplaceovih derivatov
  • 3.6 Laplaceova transformacija integralov
  • 3.7 Množenje s tn
  • 3.8 Razdelitev po t
  • 3.9 Periodične funkcije
  • 3.10 Obnašanje F (s), ko s nagiba k neskončnosti
• 4 Inverzne transformacije
  • 4.1 Vaja
• 5 Aplikacije Laplaceove transformacije
  • 5.1 Diferencialne enačbe
  • 5.2 Sistemi diferencialnih enačb
  • 5.3 Mehanika in električna vezja
• 6 Reference

Opredelitev

Naj bo f definirana za t ≥ 0. Laplaceova transformacija je definirana na naslednji način:

Rečeno je, da Laplaceova transformacija obstaja, če predhodni integral konvergira, sicer se pravi, da Laplaceova transformacija ne obstaja..

Na splošno velja, da za označevanje funkcije, ki jo želite preoblikovati, se uporabljajo male črke in velika črka ustreza njenemu preoblikovanju. Na ta način bomo imeli:

Primeri

Razmislite o konstantni funkciji f (t) = 1. Imamo, da je njena transformacija:

Kadar integral konvergira, je vedno pod pogojem, da s> 0. Sicer pa s < 0, la integral diverge.

Naj bo g (t) = t. Vaša Laplaceova transformacija je podana z

Z združevanjem po delih in vedenjem, da ste vi^-st nagiba se k 0, ko t teži k neskončnosti in s> 0, skupaj s prejšnjim primerom imamo to:

Transformacija lahko obstaja ali pa tudi ne obstaja, npr. Za funkcijo f (t) = 1 / t integral, ki definira njegovo Laplaceovo transformacijo, ne konvergira in zato njegova transformacija ne obstaja..

Zadostni pogoji za zagotovitev, da obstaja Laplaceova transformacija funkcije f, je, da je f kontinuiran v delih za t ≥ 0 in je eksponencialnega reda.

Rečeno je, da je funkcija neprekinjena v delih za t ≥ 0, ko je za vsak interval [a, b] z a> 0 končno število točk t_k, kjer je f diskontinuitete in je kontinuiran v vsakem podintervalu [t_k-1,t_k].

Po drugi strani pa je rečeno, da je funkcija eksponentnega reda c, če obstajajo realne konstante M> 0, c in T> 0, tako da:

Kot primer imamo f (t) = t² je eksponentnega reda, ker | t²| < e^3t za vse t> 0.

Na formalni način imamo naslednji izrek

Teorem (zadostni pogoji za obstoj)

Če je f kontinuirana funkcija na del za t> 0 in eksponencialni vrstni red c, potem je Laplaceova transformacija za s> c.

Pomembno je poudariti, da je to pogoj zadostnosti, to pomeni, da bi lahko obstajala funkcija, ki ne izpolnjuje teh pogojev in tudi takrat obstaja njena Laplaceova transformacija..

Primer tega je funkcija f (t) = t^-1/2 to ni neprekinjeno v delih za t ≥ 0, ampak obstaja Laplaceova transformacija.

Laplaceova transformacija nekaterih osnovnih funkcij

Naslednja tabela prikazuje Laplaceove transformacije najpogostejših funkcij.

Zgodovina

Laplaceova transformacija je dobila ime Pierre-Simon Laplace, matematik in francoski teoretski astronom, ki se je rodil leta 1749 in umrl leta 1827. Njegova slava je bila taka, da je bil znan kot Newton of France.

Leta 1744 je Leonard Euler svoje študije posvetil integralom z obliko

kot rešitve običajnih diferencialnih enačb, vendar so to preiskavo hitro opustili. Kasneje je Joseph Louis Lagrange, ki je zelo občudoval Eulerja, prav tako raziskal to vrsto integralov in jih povezal s teorijo verjetnosti..

1782, Laplace

Leta 1782 je Laplace začel preučevati te integrale kot rešitve za diferencialne enačbe in po zgodovinarjih se je leta 1785 odločil, da bo preoblikoval problem, ki je kasneje rodil Laplaceove transformacije, kot jih razumejo danes..

Ker je bila uvedena na področje teorije verjetnosti, je bila takratna znanost zelo malo zanimiva in je bila videna le kot matematični predmet le teoretičnega interesa..

Oliver Heaviside

Sredi devetnajstega stoletja je angleški inženir Oliver Heaviside odkril, da je mogoče diferencialne operaterje obravnavati kot algebrske spremenljivke, s čimer dajejo moderno aplikacijo Laplaceovim transformacijam..

Oliver Heaviside je bil angleški fizik, inženir elektrotehnike in matematik, ki se je rodil leta 1850 v Londonu in umrl leta 1925. Medtem ko je poskušal rešiti probleme diferencialnih enačb, uporabljenih v teoriji vibracij in uporabil Laplaceove študije, je začel oblikovati sodobne aplikacije Laplaceovih transformacij.

Rezultati, ki jih je pokazal Heaviside, so se hitro širili po znanstveni skupnosti tistega časa, vendar ker je bilo njegovo delo strogo, so ga bolj tradicionalni matematiki hitro kritizirali..

Vendar pa je uporabnost Heavisideovega dela pri reševanju fizikalnih enačb naredila njegove metode priljubljene pri fizikih in inženirjih.

Kljub tem nazadovanjem in po nekaj desetletjih neuspešnih poskusov je bilo v začetku 20. stoletja mogoče podati strogo utemeljitev operativnih pravil, ki jih je podal Heaviside..

Ti poskusi so se izplačali zaradi prizadevanj različnih matematikov, kot so Bromwich, Carson, van der Pol, med drugim..

Lastnosti

Med lastnostmi Laplaceove transformacije izstopajo:

Linearnost

Naj bodo c1 in c2 konstante in f (t) in g (t) funkcije, katerih Laplaceove transformacije so F (s) oziroma G (s), potem moramo:

Zaradi te lastnosti je rečeno, da je Laplaceova transformacija linearni operater.

Primer

Izrek prvega prevoda

Če se zgodi, da:

"A" je vsako realno število, nato:

Primer

Kot Laplaceova transformacija cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) potem:

Drugi prevod izrek

Da

Potem pa

Primer

Če je f (t) = t ^ 3, potem je F (s) = 6 / s ^ 4. In zato, preoblikovanje

je G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

Sprememba obsega

Da

In 'a' je ne-nič realen, moramo

Primer

Ker je transformacija f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), mora biti

preoblikovanje Laplaceov derivatov

Če f, f ', f ", ..., f⁽ⁿ⁾ so neprekinjeni za t ≥ 0 in so eksponencialnega reda in f⁽ⁿ⁾(t) je neprekinjeno v delih za t ≥ 0, potem

Laplaceova transformacija integralov

Da

Potem pa

Množenje s tⁿ

Če moramo

Potem pa

Razdelitev po t

Če moramo

Potem pa

Periodične funkcije

Naj bo f periodična funkcija s časom T> 0, torej f (t + T) = f (t), potem

Obnašanje F (s), kadar s nagiba k neskončnosti

Če je f kontinuiran v delih in eksponentnem zaporedju in. \ T

Potem pa

Inverzne transformacije

Ko uporabimo Laplaceovo transformacijo v funkcijo f (t), dobimo F (s), ki predstavlja to transformacijo. Na enak način lahko rečemo, da je f (t) inverzna Laplaceova transformacija F (s) in je zapisana kot

Vemo, da so Laplaceove transformacije f (t) = 1 in g (t) = t F (s) = 1 / s in G (s) = 1 / s.² zato moramo to storiti

Nekatere skupne inverzne Laplaceove transformacije so naslednje

Poleg tega je inverzna Laplaceova transformacija linearna, kar pomeni, da je to izpolnjeno

Vaja

Najdi

Za reševanje te vaje moramo ujemati funkcijo F (s) z eno od prejšnje tabele. V tem primeru, če vzamemo n + 1 = 5 in uporabimo linearnost lastnosti inverzne transformacije, se pomnožimo in delimo s 4! Pridobivanje

Za drugo inverzno preoblikovanje uporabimo delne frakcije, da ponovno napišemo funkcijo F (s) in nato lastnost linearnosti.

Kot lahko vidimo iz teh primerov, je običajno, da se funkcija F (s), ki se ocenjuje, ne ujema natančno z nobeno od funkcij, navedenih v tabeli. Za te primere, kot je opaziti, je dovolj, da funkcijo prepišemo, dokler ne dosežemo ustrezne oblike.

Aplikacije Laplaceove transformacije

Diferencialne enačbe

Glavna uporaba Laplaceovih transformacij je reševanje diferencialnih enačb.

Z uporabo lastnosti transformacije izpeljave je jasno, da

In o derivatih n-1, vrednotenih pri t = 0.

Zaradi te lastnosti je transformacija zelo uporabna za reševanje problemov začetnih vrednosti, kjer so vključene diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti.

Naslednji primeri kažejo, kako uporabiti Laplaceovo transformacijo za reševanje diferencialnih enačb.

Primer 1

Glede na naslednji začetni problem vrednosti

Uporabite Laplaceovo transformacijo, da najdete rešitev.

Uporabimo Laplaceovo transformacijo za vsakega člana diferencialne enačbe

Za lastnost preoblikovanja izpeljave imamo

Z razvojem vsega izraza in čiščenja smo ostali

Z uporabo delnih frakcij ponovno napišemo desno stran enačbe, ki jo dobimo

Končno, naš cilj je najti funkcijo y (t), ki izpolnjuje diferencialno enačbo. Z uporabo inverzne Laplaceove transformacije dobimo rezultat

Primer 2

Rešite

Kot v prejšnjem primeru transformacijo uporabljamo na obeh straneh enačbe in ločimo po izrazu.

Na ta način imamo kot rezultat

Zamenjava z danimi začetnimi vrednostmi in brisanje Y (s)

Z uporabo preprostih frakcij lahko enačbo prepišemo na naslednji način

Posledica tega je, da uporabimo inverzno transformacijo Laplacea

V teh primerih lahko pride do napačnega zaključka, da ta metoda ni veliko boljša od tradicionalnih metod za reševanje diferencialnih enačb.

Prednosti Laplaceove transformacije so, da ni potrebno uporabljati variacije parametrov ali skrbeti za različne primere metode nedoločenega koeficienta..

Poleg reševanja problemov začetne vrednosti s to metodo od začetka uporabljamo začetne pogoje, zato ni potrebno izvesti drugih izračunov za iskanje določene rešitve..

Sistemi diferencialnih enačb

Laplaceovo transformacijo lahko uporabimo tudi za iskanje rešitev za hkratne običajne diferencialne enačbe, kot kaže naslednji primer.

Primer

Rešite

Z začetnimi pogoji x (0) = 8 e in (0) = 3.

Če moramo

Potem pa

Reševanje rezultatov v nas

In ko uporabljamo Laplaceovo inverzno transformacijo, imamo

Mehanika in električna vezja

Laplaceova transformacija je v fiziki zelo pomembna, ima predvsem aplikacije za mehanske in električne tokokroge.

Preprost električni tokokrog je sestavljen iz naslednjih elementov

Stikalo, baterijo ali vir, induktor, upor in kondenzator. Ko je stikalo zaprto, nastane električni tok, ki je označen z i (t). Kondenzator je označen s q (t)..

Po Kirchhoffovem drugem zakonu mora biti napetost, ki jo proizvaja vir E, v zaprti krog enaka vsoti vseh padcev napetosti.

Električni tok i (t) je povezan z nabojem q (t) v kondenzatorju z i = dq / dt. Po drugi strani pa je padec napetosti v vsakem elementu definiran na naslednji način:

Padec napetosti v uporu je iR = R (dq / dt)

Padec napetosti v induktorju je L (di / dt) = L (d²q / dt²)

Padec napetosti v kondenzatorju je q / c

S temi podatki in z uporabo drugega Kirchhoffovega zakona za zaprto preprosto vezje dobimo diferencialno enačbo drugega reda, ki opisuje sistem in nam omogoča, da določimo vrednost q (t)..

Primer

Induktor, kondenzator in upor so priključeni na baterijo E, kot je prikazano na sliki. Induktor ima 2 henry, kondenzator 0,02 farads in upor 16 onhm. V času t = 0 je vezje zaprto. Poiščite obremenitev in tok v vsakem trenutku t> 0, če je E = 300 voltov.

Imamo, da je diferencialna enačba, ki opisuje to vezje, naslednja

Kjer so začetni pogoji q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Z uporabo Laplaceove transformacije to dobimo

Čiščenje Q (t)

Nato uporabimo inverzno Laplaceovo transformacijo

Reference

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformacija za inženirje elektronike. Lime.
2. Ruiz, L. M., in Hernandez, M. P. (2006). Diferencialne enačbe in Laplaceova transformacija z aplikacijami. Uvodnik UPV.
3. Simmons, G. F. (1993). Diferencialne enačbe z aplikacijami in zgodovinskimi zapiski. McGraw-Hill.
4. Spiegel, M. R. (1991). Laplaceove transformacije. McGraw-Hill.
5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Diferencialne enačbe s problemi vrednosti na meji. Cengage Learning Editores, S.A..