Sestava, vrste in primeri izometričnih transformacij



The Izometrične transformacije gre za spremembe položaja ali orientacije določene figure, ki ne spreminjajo niti oblike niti velikosti. Te transformacije so razvrščene v tri vrste: prevajanje, rotacija in refleksija (izometrija). Na splošno geometrijske transformacije omogočajo ustvarjanje novega števila iz drugega.

Preobrazba v geometrijsko sliko pomeni, da je bila na nek način podvržena spremembam; to je, da je bila spremenjena. Glede na smisel izvirnika in podobnosti v ravnini lahko geometrijske transformacije razvrstimo v tri vrste: izometrične, izomorfne in anamorfne..

Indeks

  • 1 Značilnosti
  • 2 Vrste
    • 2.1 S prevodom
    • 2.2 Z vrtenjem
    • 2.3 Z refleksijo ali simetrijo
  • 3 Sestava
    • 3.1 Sestava prevoda
    • 3.2 Sestava rotacije
    • 3.3 Sestava simetrije
  • 4 Reference

Funkcije

Izometrične transformacije se pojavijo, ko so ohranjene velikosti segmentov in kotov med prvotno sliko in transformirano enoto..

Pri tej vrsti preoblikovanja se ne spremenita niti oblika niti velikost figure (so skladne), ampak le sprememba položaja figure, bodisi v orientaciji ali v smeri. Na ta način bodo začetne in končne številke podobne in geometrijsko skladne.

Izometrija se nanaša na enakost; to pomeni, da bodo geometrijske figure izometrične, če imajo enako obliko in velikost.

Pri izometričnih transformacijah je edina stvar, ki jo je mogoče opaziti, sprememba položaja v ravnini, nastopi togo gibanje, zaradi česar se številka premakne iz začetnega položaja v končni položaj. Ta številka se imenuje homologna (podobna) izvirniku.

Obstajajo tri vrste gibov, ki klasificirajo izometrično transformacijo: prevajanje, rotacija in refleksija ali simetrija.

Vrste

S prevodom

So tiste izometrije, ki omogočajo premikanje v ravni liniji vseh točk ravnine v določeni smeri in razdalji.

Ko se figura prevede s prevodom, ne spremeni svoje orientacije glede na začetni položaj in ne izgubi svojih notranjih ukrepov, meritev kotov in strani. Ta vrsta premika je določena s tremi parametri:

- Naslov, ki je lahko vodoraven, navpičen ali poševen.

- Občutek, ki je lahko levo, desno, gor ali dol.

- Razdalja ali magnituda, ki je dolžina od začetnega položaja do konca katere koli točke, ki se premika.

Za izpolnitev izometričnega preoblikovanja s prevodom mora izpolnjevati naslednje pogoje: \ t

- Slika mora vedno ohraniti vse njene dimenzije, linearne in kotne.

- Slika ne spremeni svojega položaja glede na vodoravno os; to pomeni, da se njegov kot nikoli ne spreminja.

- Prevodi bodo vedno povzeti v enem, ne glede na število opravljenih prevodov.

V ravnini, kjer je središče točka O, s koordinatami (0,0), je prevod definiran z vektorjem T (a, b), ki kaže premik začetne točke. To je:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Na primer, če se prevod T (-4, 7) uporabi za koordinatno točko P (8, -2), dobimo:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Na naslednji sliki (levo) je razvidno, kako se je točka C premaknila na točko D. To je storila v navpični smeri, smer je bila navzgor, CD pa je bila 8 metrov. Na desni sliki je opazen prevod trikotnika:

Z vrtenjem

To so tiste izometrije, ki omogočajo, da slika obrne vse točke ravnine. Vsaka točka se vrti za lokom, ki ima konstanten kot in določeno fiksno točko (središče vrtenja).

To pomeni, da bo vsaka rotacija določena s središčem vrtenja in kotom vrtenja. Ko se slika spremeni z rotacijo, ohrani merjenje kotov in strani.

Vrtenje poteka v določeni smeri, je pozitivno, če je vrtenje v nasprotni smeri urinega kazalca (v nasprotju s tem, kako se vrtijo roke ure) in negativno, če je njegova rotacija v smeri urnega kazalca.

Če se točka (x, y) obrne glede na izvor - to pomeni, da je njeno središče vrtenja (0,0) -, pod kotom 90o na 360o Koordinate točk bodo:

V primeru, da rotacija nima središča na izvoru, se mora izvor koordinatnega sistema prenesti na novi dan, da bi lahko sliko zasukali tako, da je njen center \ t.

Na primer, če je točka P (-5.2) dobila rotacijo 90o, okoli izvora in v pozitivnem smislu bodo njegove nove koordinate (-2.5).

Z refleksijo ali simetrijo

To so tiste transformacije, ki obrnejo točke in številke ravnine. Ta naložba je lahko glede na točko ali pa je lahko tudi glede na ravno črto.

Z drugimi besedami, pri tej vrsti transformacije je vsaka točka prvotne figure povezana z drugo točko (sliko) homologne figure, tako da sta točka in njena slika na isti razdalji od črte, ki se imenuje os simetrije..

Tako bo levi del slike odsev desnega dela, brez spreminjanja njegove oblike ali dimenzij. Simetrija pretvori eno sliko v drugo, čeprav v nasprotni smeri, kot je razvidno iz naslednje slike:

Simetrija je prisotna v mnogih pogledih, kot so nekatere rastline (sončnice), živali (pav) in naravni pojavi (snežinke). Človek jo odseva na obrazu, ki velja za faktor lepote. Odsev ali simetrija sta lahko dveh vrst:

Centralna simetrija

Ta transformacija se pojavi glede na točko, v kateri lahko slika spremeni svojo usmerjenost. Vsaka točka prvotne figure in njena slika sta na isti razdalji od točke O, ki se imenuje središče simetrije. Simetrija je osrednja, kadar:

- Tako točka kot njena slika in središče pripadata isti liniji.

- Z rotacijo 180o center O dobite številko, ki je enaka originalu.

- Hodi začetne številke so vzporedni z gibi oblikovane figure.

- Smisel slike se ne spremeni, vedno bo v smeri urinega kazalca.

Ta transformacija se pojavi glede na os simetrije, kjer je vsaka točka začetne številke povezana z drugo točko slike in so na isti razdalji od osi simetrije. Simetrija je osna, kadar:

- Odsek, ki povezuje točko s sliko, je pravokoten na os simetrije.

- Številke spremenijo smer glede na zavoj ali v smeri urinega kazalca.

- Pri delitvi številke s centralno linijo (os simetrije) se ena od nastalih polovic popolnoma ujema z drugo polovico..

Sestava

Sestava izometričnih transformacij se nanaša na zaporedno uporabo izometričnih transformacij na isti sliki.

Sestava prevoda

Sestava dveh prevodov je rezultat drugega prevoda. Ko se opravi na ravnini, se na vodoravni osi (x) spremenijo samo koordinate te osi, koordinate navpične osi (y) pa ostanejo enake in obratno.

Sestava vrtenja

Sestava dveh obratov z istim centrom povzroči še en obrat, ki ima isto središče in katerega amplituda bo vsota amplitud dveh obratov..

Če središče zavojev ima drugačno središče, bo reznica simetrale dveh segmentov podobnih točk središče zavoja.

Sestava simetrije

V tem primeru bo sestava odvisna od načina uporabe:

- Če se ista simetrija uporabi dvakrat, bo rezultat identiteta.

- Če se uporabita dve simetri glede na dve vzporedni osi, bo rezultat prevod in njegova premik je dvakratna razdalja med temi osmi:

- Če se uporabita dve simetri glede na dve osi, ki sta izrezani v točki O (središče), se dobi vrtenje s središčem pri O in njegov kot bo dvakrat več kot kot osi:

Reference

  1. V Burgués, J.F. (1988). Materiali za izdelavo geometrije. Madrid: Sinteza.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Tehnična risba II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije Mehika: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometrija Transformacijski pristop. ZDA: bratje Laidlaw.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukcija in formalizacija v poučevanju togih transformacij v okolju CABRI.
  6. , P. J. (1996). Skupina ravninskih izometrij. Madrid: Sinteza.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformacije v ravnini. Gurabo, Portoriko: AMCT .