Kaj so relativni bratranci? Značilnosti in primeri



Imenuje se sorodniki (coprimos ali bratranci glede na drugega) za kateri koli par celih števil, ki nimajo skupnega delitelja, razen 1.

Z drugimi besedami, dve celi številki sta relativna bratranca, če v razpadu v praštevilčnem delu nimata skupnega dejavnika.

Na primer, če sta izbrana 4 in 25, je vsak dekompozicijski faktor 2 2 oziroma 5 2. Kot je cenjeno, ti nimajo skupnega dejavnika, zato sta 4 in 25 relativna bratranca.

Po drugi strani, če sta izbrana 6 in 24, pri izvedbi razgradenj v primarnih faktorjih dobimo, da je 6 = 2 * 3 in 24 = 2³ * 3.

Kot lahko vidite, ta dva zadnja izraza imata vsaj en skupen faktor, zato nista relativna praštevila.

Relativni bratranci

Pri tem je treba paziti, da je dejstvo, da so par celih števil relativno relativne, da to ne pomeni, da je katera koli od njih prvo število.

Po drugi strani pa je zgornjo definicijo mogoče povzeti na naslednji način: dve celi števili "a" in "b" sta relativna navada, če in samo če je največji skupni delitelj teh 1, to je mcd ( a, b) = 1.

Dva neposredna zaključka te opredelitve sta:

-Če je "a" (ali "b") praštevilo, potem je mcd (a, b) = 1.

-Če sta "a" in "b" praštevila, potem je mcd (a, b) = 1.

To pomeni, da če je vsaj ena od izbranih števil praštevila, potem je neposredno par številk relativnih praštevil.

Druge funkcije

Drugi rezultati, ki se uporabljajo za določanje, ali sta dve številki relativni prosti vrednosti:

-Če sta dve celi števili zaporedni, potem so to relativni bratranci.

-Dva naravna števila "a" in "b" sta relativna praštevila, če in samo če so številke "(2 ^ a) -1" in "(2 ^ b) -1" relativne navade..

-Dva cela števila "a" in "b" sta relativna praštevila, če in samo če, s pomočjo izrisovanja točke (a, b) v kartezični ravnini in konstruiranja črte, ki gre skozi izvor (0,0) in (a) , b) to ne vsebuje točk s celotnimi koordinatami.

Primeri

1.- Razmislite cela števila 5 in 12. Glavni dejavnik razgradnje obeh števil je: 5 in 2² * 3. Skratka, gcd (5,12) = 1, zato sta 5 in 12 relativna praštevila.

2.- Naj bodo številke -4 in 6. Nato -4 = -2² in 6 = 2 * 3, tako da bo LCD (-4.6) = 2. 1. V zaključku -4 in 6 nista relativna bratranca.

Če nadaljujemo z grafom, ki poteka skozi urejene pare (-4.6) in (0.0), ter določimo enačbo te črte, lahko preverimo, da gre skozi točko (-2,3)..

Spet je ugotovljeno, da -4 in 6 nista relativna bratranca.

3.- Številke 7 in 44 sta relativna praštevila in se lahko hitro zaključita zaradi zgoraj navedenega, saj je 7 prime številka.

4.- Upoštevajte številke 345 in 346. Ker sta dve zaporedni številki, se preveri, da je mcd (345,346) = 1, zato 345 in 346 relativnih praštevil.

5.- Če upoštevamo številke 147 in 74, potem so to relativni bratranci, ker 147 = 3 * 7² in 74 = 2 * 37, torej gcd (147.74) = 1.

6.- Številke 4 in 9 sta relativna praštevila. Da bi to dokazali, lahko uporabimo drugo zgoraj navedeno karakterizacijo. Dejansko 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 in 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Dobljene številke so 15 in 511. Dekompozicije teh faktorjev so 3 * 5 in 7 * 73, tako da je mcd (15,511) = 1.

Kot lahko vidite, je uporaba druge karakterizacije daljša in težavna naloga kot preverjanje neposredno.

7.- Razmislite o številkah -22 in -27. Nato se te številke lahko zapišejo na naslednji način: -22 = -2 * 11 in -27 = -3³. Zato sta gcd (-22, -27) = 1, torej -22 in -27 relativna praštevila.

Reference

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod v teorijo števil. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetični elementi. Knjižara Lords and Children Sons of Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Osnovni predmet teorije števil. Univerza na severu.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Niz celih števil. EUNED.
  5. Višji inštitut za usposabljanje učiteljev (Španija), J. L. (2004). Številke, oblike in količine v otrokovem okolju. Ministrstvo za šolstvo.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktična matematika: aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija in drsno pravilo (ponatis natis.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Osnovna matematika in predalgebra (ilustrirana ed.). Kariera Press.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. tečaj matematike. Uredništvo progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., in Colorado, H. (2010). Osnovna načela aritmetike. ELIZCOM S.A.S.