Pomembne razlage izdelkov in rešene vaje



The izdelkov gre za algebraične operacije, kjer se izrazijo množenja polinomov, ki jih ni treba tradicionalno reševati, ampak s pomočjo določenih pravil najdete rezultate le-teh..

Polinomi se množijo sami, zato imajo lahko veliko število izrazov in spremenljivk. Da bi bil postopek krajši, se uporabljajo pravila izjemnih izdelkov, ki omogočajo množenje, ne da bi morali iti po izrazu..

Indeks

  • 1 Pomembni izdelki in primeri
    • 1.1 Binomski kvadrat
    • 1.2 Produkt konjugiranih binomov
    • 1.3 Izdelek dveh binomov s skupnim izrazom
    • 1.4 Polinomski kvadrat
    • 1.5 Binomski del kocke
    • 1.6 Žlica trinoma
  • 2 Vaje rešene za izjemne izdelke
    • 2.1 Vaja 1
    • 2.2 Vaja 2
  • 3 Reference

Pomembni izdelki in primeri

Vsak izjemen izdelek je formula, ki izhaja iz faktorizacije, sestavljene iz polinomov različnih izrazov, kot so binomali ali trinomiali, imenovani dejavniki..

Dejavniki so osnova moči in imajo eksponent. Ko se faktorji pomnožijo, je treba dodati eksponente.

Obstaja več izjemnih formul za izdelke, nekatere so bolj uporabne kot druge, odvisno od polinomov, in so naslednje:

Binomski kvadrat

To je množenje samega binomskega dela, izraženo v obliki moči, kjer se izrazi dodajo ali odštejejo:

a. Binomski del na kvadrat: je enaka kvadratu prvega izraza in dvakratnemu številu izrazov ter kvadratu drugega izraza. Izražena je na naslednji način:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Naslednja slika prikazuje, kako je izdelek razvit v skladu z zgoraj navedenim pravilom. Rezultat se imenuje trinomija popolnega kvadrata.

Primer 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Primer 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomska kvota odštevanja: isto pravilo se uporablja za binom obdavčljivega zneska, le da je v tem primeru drugi izraz negativen. Njegova formula je naslednja:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Primer 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12 x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt konjugiranih binomalov

Dva binoma sta konjugirana, kadar so drugi členi vsakega od različnih znakov, to je, da je prvi od pozitivnih in drugega negativnega ali obratno. Rešite tako, da dvignete vsak monomični kvadrat in ga odštejete. Njegova formula je naslednja:

(a + b) * (a - b)

Na naslednji sliki je razvit produkt dveh konjugiranih binomalov, kjer je ugotovljeno, da je rezultat razlika kvadratov..

Primer 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Izdelek dveh binomov s skupnim izrazom

Je eden najbolj zapletenih in malo uporabljenih izjemnih izdelkov, ker je množenje dveh binomov, ki imajo skupen izraz. Pravilo kaže naslednje:

  • Kvadrat skupnega izraza.
  • Plus dodajte izraze, ki niso pogosti, in jih nato pomnožite s skupnim izrazom.
  • Plus vsota množenja izrazov, ki niso pogosti.

Predstavljena je v formuli: (x + a) * (x + b) in se razvije, kot je prikazano na sliki. Rezultat je kvadratni trinomij, ki ni popoln.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Obstaja možnost, da je drugi izraz (drugačen izraz) negativen, njegova formula pa je naslednja: (x + a) * (x - b).

Primer 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Lahko se zgodi, da sta oba različna izraza negativna. Njegova formula bo: (x - a) * (x - b).

Primer 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Kvadratni polinom

V tem primeru obstaja več kot dva izraza in ga razvijemo, vsaka od njih je kvadrirana in dodana skupaj z dvakratnim množenjem enega izraza z drugim; njena formula je: (a + b + c)2 in rezultat operacije je trinomska kvadrat.

Primer 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomski del kocke

Je izjemen kompleksen izdelek. Da bi ga razvili, pomnožite binom po kvadratu na naslednji način:

a. Za binom v kocki vsote:

  • Kocka prvega izraza, plus trojni kvadrat prvega stavka z drugim.
  • Plus trikrat prvi izraz, za drugi kvadrat.
  • Plus kocka drugega izraza.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Primer 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Za binom v kocki odštevanja:

  • Kocka prvega izraza, minus trojni kvadrat prvega po drugem.
  • Plus trikrat prvi izraz, za drugi kvadrat.
  • Manj kocke drugega izraza.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Primer 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Vedro trinoma

Razvija se z množenjem s kvadratom. To je izjemen produkt, ki je zelo obsežen, saj obstajajo trije izrazi, ki se dvignejo na kocko, plus trikrat na vsak kvadrat, pomnoženi z vsakim izrazom, plus šestkratni produkt treh izrazov. Bolje gledano:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Primer 1

Rešene vaje izjemnih izdelkov

Vaja 1

Razvijte naslednji binom v kocko: (4x - 6)3.

Rešitev

Ob opozarjanju, da je binom v kocki enak prvemu izrazu, ki je bil dvignjen na kocko, manj kot trojni kvadrat prvega po drugem; plus trojico prvega izraza, z drugim kvadratom, minus kocko drugega izraza.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Vaja 2

Razvijte naslednji binom: (x + 3) (x + 8).

Rešitev

Obstaja binom, kjer je skupni izraz, ki je x in drugi izraz pozitiven. Če ga želite razviti, morate samo kvadrat skupnega izraza, plus vsoto izrazov, ki niso pogosti (3 in 8), in jih pomnožiti s skupnim izrazom, plus vsoto množenja izrazov, ki niso skupni.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Reference

  1. Angel, A. R. (2007). Osnovna algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matematika Plus 8. Združeno kraljestvo: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Osnovna in vmesna algebra: kombinirani pristop. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.