Lastnosti navzkrižnih izdelkov, aplikacije in rešene vaje



The Vektor navzkrižnega proizvoda ali izdelka To je način, da pomnožite dva ali več vektorjev. Obstajajo trije načini množenja vektorjev, vendar nobeno od teh ni množenje v običajnem pomenu besede. Ena od teh oblik je znana kot vektorski produkt, ki ima za posledico tretji vektor.

Vektorski produkt, ki se imenuje tudi navzkrižni produkt ali zunanji produkt, ima različne algebrske in geometrijske lastnosti. Te lastnosti so zelo koristne, zlasti pri študiju fizike.

Indeks

  • 1 Opredelitev
  • 2 Lastnosti
    • 2.1 Lastnina 1
    • 2.2 Lastnina 2
    • 2.3 Lastnina 3
    • 2.4 Lastnina 4 (trojni skalarni izdelek)
    • 2.5 Lastnost 5 (izdelek s trojnimi vektorji)
    • 2.6 Lastnina 6
    • 2.7 Lastnina 7
    • 2.8 Lastnina 8
  • 3 Aplikacije
    • 3.1 Izračun volumna paralelepipeda
  • 4 Vaje rešene
    • 4.1 Vaja 1
    • 4.2 Vaja 2
  • 5 Reference

Opredelitev

Formalna definicija vektorskega produkta je naslednja: če so A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3) vektorji, potem je vektorski produkt A in B, ki ga bomo označili kot AxB:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Zaradi oznake AxB se glasi kot "križ B".

Primer uporabe zunanjega izdelka je, da če sta A = (1, 2, 3) in B = (3, -2, 4) vektorji, potem z uporabo definicije vektorskega produkta imamo:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Drugi način za izražanje vektorskega produkta je podan z zapisom determinant.

Izračun determinante drugega reda je podan z:

Zato lahko formulo vektorskega proizvoda, podano v definiciji, ponovno napišemo na naslednji način:

To je ponavadi poenostavljeno v determinanti tretjega reda, kot sledi:

Kjer i, j, k predstavljajo vektorje, ki tvorijo osnovo R3.

Z uporabo tega načina izražanja navzkrižnega produkta lahko navedemo, da lahko prejšnji primer ponovno napišemo kot:

Lastnosti

Nekatere lastnosti, ki jih ima vektorski izdelek, so naslednje:

Lastnost 1

Če je A katerikoli vektor v R3, Moramo:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Te lastnosti je enostavno preveriti samo z definicijo. Če je A = (a1, a2, a3), moramo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Če i, j, k predstavljajo osnovo enote R3, Lahko jih napišemo na naslednji način:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Nato moramo izpolniti naslednje lastnosti:

Kot mnemonično pravilo se za zapomnitev teh lastnosti običajno uporablja naslednji krog:

Tam moramo upoštevati, da vsak vektor s samim seboj povzroči vektor 0, preostale izdelke pa dobimo z naslednjim pravilom:

Prečni produkt dveh zaporednih vektorjev v smeri urinega kazalca daje naslednji vektor; in ob upoštevanju nasprotne smeri urinega kazalca je rezultat naslednji vektor z negativnim predznakom.

Zaradi teh lastnosti lahko vidimo, da vektorski produkt ni komutativen; na primer, dovolj je opaziti, da i x j j j x i. Naslednja lastnost nam pove, kako se na splošno nanašajo AxB in BxA.

Lastnina 2

Če sta A in B R vektorja3, Moramo:

AxB = - (BxA).

Predstavitev

Če je A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3), imamo po definiciji zunanjega izdelka:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Opazimo lahko tudi, da ta izdelek ni asociativen z naslednjim primerom:

ix (ixj) = ixk = - j vendar (ixi) xj = 0xj = 0

Iz tega lahko opazimo, da:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Lastnina 3

Če so A, B, C R vektorji3 in r je dejansko število, velja naslednje:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Zahvaljujoč tem lastnostim lahko izračunamo vektorski produkt z uporabo zakonov algebre, pod pogojem, da je naročilo spoštovano. Na primer:

Če je A = (1, 2, 3) in B = (3, -2, 4), jih lahko prepišemo na podlagi kanonske osnove R3.

Tako je A = i + 2j + 3k in B = 3i - 2j + 4k. Nato uporabite prejšnje lastnosti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Lastnost 4 (trojni skalarni izdelek)

Kot smo omenili na začetku, obstajajo tudi drugi načini množenja vektorjev poleg vektorskega produkta. Eden od teh načinov je skalarni izdelek ali notranji izdelek, ki je označen kot A and B in katerega definicija je:

Če je A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3), potem A = B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Lastnost, ki se nanaša na oba proizvoda, je znana kot trojni skalarni izdelek.

Če so A, B in C R vektorji3, potem A x BxC = AxB. C

Kot primer lahko vidimo, da je glede na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) in C = (- 5, 1, - 4) ta lastnost izpolnjena.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A x BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Po drugi strani:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Še en trojni produkt je Ax (BxC), ki je znan kot trojni vektorski produkt.

Lastnost 5 (izdelek s trojnimi vektorji)

Če so A, B in C R vektorji3,  potem:

Ax (BxC) = (A) C) B - (A) B) C

Kot primer lahko vidimo, da je glede na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) in C = (- 5, 1, - 4) ta lastnost izpolnjena.

Iz prejšnjega primera vemo, da je BxC = (- 18, - 22, 17). Izračunaj Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Po drugi strani pa moramo:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A = B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Torej moramo:

(A) C) B - (A) B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Lastnina 6

Je ena izmed geometričnih lastnosti vektorjev. Če sta A in B dva vektorja v R3 in Θ je kot, ki nastane med temi, nato:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kjer || || označuje modul ali velikost vektorja.

Geometrična razlaga te lastnosti je naslednja:

Naj bo A = PR in B = PQ. Nato kot, ki ga tvorijo vektorji A in B, je kot P trikotnika RQP, kot je prikazano na naslednji sliki.

Zato je območje paralelograma s sosednjimi stranicami PR in PQ || A |||| B || sin (Θ), ker lahko vzamemo kot osnovo || A || in njegova višina je podana z || B || sin (Θ).

Zaradi tega lahko sklepamo, da || AxB || je območje omenjenega paralelograma.

Primer

Glede na naslednja vozlišča štirikotnika P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) in S (5,7, -3), pokažite, da je omenjeni štirikotnik je paralelogram in najde njegovo območje.

Za to najprej določimo vektorje, ki določajo smer strani štirikotnika. To je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kot lahko opazimo A in C imata isti vektorski direktor, za katerega imamo, da sta oba vzporedna; enako kot B in D. Zato sklepamo, da je PQRS paralelogram.

Za območje omenjenega paralelograma izračunamo BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Zato bo kvadratno območje:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Sklepamo lahko, da bo paralelogramski kvadratni koren 89.

Lastnina 7

Dva vektorja A in B sta vzporedna v R3 da in samo če AxB = 0

Predstavitev

Jasno je, da če sta A ali B ničelni vektor, potem AxB = 0. Ker je ničelni vektor vzporeden s katerim koli drugim vektorjem, potem je lastnost veljavna..

Če nobeden od obeh vektorjev ni ničelni vektor, potem je njihova velikost različna od nič; to je, oba || A || As 0 kot || B || , 0, tako da bomo morali || AxB || = 0, če in samo če je sin (=) = 0, in to se zgodi, če in samo če je π = π ali Θ = 0.

Zato lahko sklepamo, da je AxB = 0, če in samo če je π = π ali Θ = 0, kar se zgodi, ko sta oba vektorja vzporedna drug z drugim..

Lastnina 8

Če sta A in B dva vektorja v R3, potem je AxB pravokotna na oba A in B.

Predstavitev

Za ta prikaz ne pozabite, da sta dva vektorja pravokotna, če je A is B enaka nič. Poleg tega vemo, da:

A B AxB = AxA ∙ B, vendar je AxA enaka 0. Zato moramo:

A B AxB = 0 = B = 0.

S tem lahko sklepamo, da sta A in AxB pravokotni drug na drugega. Na podoben način moramo:

AxB = B = A x BxB.

Kot BxB = 0 moramo:

AxB ∙ B = A = 0 = 0.

Zato sta AxB in B pravokotna drug na drugega in s tem je dokazana lastnost. To je zelo koristno, saj nam omogočajo, da določimo enačbo ravnine.

Primer 1

Pridobite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) in R (2, 1, 3)..

Naj bo A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) in B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Potem A = - i + 3j + k in B = i - 2j + k. Da bi našli ravnino, ki jo tvorijo te tri točke, je dovolj, da najdemo vektor, ki je normalen na ravnino, ki je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S tem vektorjem in ob upoštevanju točke P (1, 3, 2) lahko določimo enačbo ravnine, kot sledi:

(5, 2, - 1) x (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Torej imamo enačbo ravnine 5x + 2y - z - 9 = 0.

Primer 2

Poišči enačbo ravnine, ki vsebuje točko P (4, 0, - 2) in je pravokotna na vsako od ravnin x - y + z = 0 in 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Če vemo, da je normalni vektor na ravnino aks + s + cz + d = 0, je (a, b, c), da je (1, -1,1) normalni vektor x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) je normalni vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Zato mora biti normalni vektor na želeno ravnino pravokoten na (1, -1,1) in a (2, 1, - 4). Navedeni vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Potem imamo, da je zahtevana ravnina tista, ki vsebuje točko P (4,0, - 2) in ima vektor (3,6,3) kot normalni vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikacije

Izračun prostornine paralelepipeda

Aplikacija, ki ima trojni skalarni izdelek, je sposobna izračunati volumen paralelepipeda, katerega robovi so podani z vektorji A, B in C, kot je prikazano na sliki:

To aplikacijo lahko sklepamo na naslednji način: kot smo že povedali, je vektor AxB vektor, ki je normalen na ravnino A in B. Imamo tudi, da je vektor - (AxB) še en vektor, normalen na omenjeno ravnino..

Izberemo normalni vektor, ki oblikuje najmanjši kot z vektorjem C; brez izgube splošnosti naj bo AxB vektor, katerega kot z C je najmanjši.

Imamo, da imata AxB in C isto izhodišče. Poleg tega vemo, da je območje paralelograma, ki tvori osnovo paralelepipeda || AxB ||. Torej, če je višina paralelepipeda podana s h, potem je njen volumen:

V = || AxB || h.

Po drugi strani pa upoštevajte skalarni izdelek med AxB in C, ki ga lahko opišemo na naslednji način:

Toda s trigonometričnimi lastnostmi imamo h = || C || cos ((), zato moramo:

Na ta način moramo:

Na splošno imamo, da je volumen paralelepipeda podan z absolutno vrednostjo trojnega skalarnega produkta AxB ∙ C.

Rešene vaje

Vaja 1

Glede na točke P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) in S = (2, 6, 9) te točke tvorijo paralelepiped, katerega robovi so so PQ, PR in PS. Določimo prostornino omenjenega paralelepipeda.

Rešitev

Če vzamemo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Z lastnostjo trojnega skalarnega izdelka moramo:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB = C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Zato imamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda 52.

Vaja 2

Določimo prostornino paralelepipeda, katerega robovi so podani z A = PQ, B = PR in C = PS, kjer sta točki P, Q, R in S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) in (2, 2, 5).

Rešitev

Najprej imamo A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Izračunamo AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Potem izračunamo AxB: C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Tako sklepamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda 1 kubična enota.

Reference

  1. Leithold, L. (1992). IZRAČUN z analitično geometrijo. HARLA, S.A..
  2. Resnick, R., Halliday, D., in Krane, K. (2001). Fizika Vol. Mehika: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Izračun vektorja 1ed. Hipotenuza.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorska analiza 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., in Wright, W. (2011). Izračun različnih spremenljivk 4ed. Mc Graw Hill.