Paralelepipedne značilnosti, vrste, površina, prostornina

A paralelepiped je geometrijsko telo, ki ga sestavlja šest obrazov, katerih glavna značilnost je, da so vsi njihovi obrazi paralelogrami, prav tako pa so njihove nasprotne ploskve vzporedne. Je običajen polieder v vsakdanjem življenju, saj ga lahko najdemo v škatlah za čevlje, obliki opeke, obliki mikrovalovne pečice itd..

Paralelepiped, ki je polieder, zajema končni volumen in vsi njegovi obrazi so ploski. Je del skupine prizm, ki so tisti poliedri, v katerih so vsa njihova vozlišča v dveh vzporednih ravninah..

Indeks

• 1 Elementi paralelepipeda
  • 1.1 Obrazi
  • 1.2 Robovi
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonala
  • 1.5 Center
• 2 Značilnosti paralelepipeda
• 3 Vrste
  • 3.1 Izračun diagonal
• 4 Območje
  • 4.1 Območje ortoedra
  • 4.2 Območje kocke
  • 4.3 Območje romboedra
  • 4.4 Območje rombičnega
• 5 Volumen paralelepipeda
  • 5.1 Popoln paralelepiped
• 6 Bibliografija

Elementi paralelepipeda

Obrazi

To so vsa območja, ki jih tvorijo paralelogrami, ki omejujejo paralelepiped. Paralelepiped ima šest obrazov, kjer ima vsak obraz štiri sosednje obraze in eno nasprotno. Poleg tega je vsaka stran vzporedna s svojo nasprotno stranjo.

Robovi

So skupna stran dveh obrazov. Skupaj ima paralelepiped dvanajst robov.

Vertex

To je skupna točka treh obrazov, ki ležijo drug ob drugem. Paralelepiped ima osem tock.

Diagonal

Glede na dve nasprotni strani paralelepipeda lahko narišemo odsek črte, ki poteka od tocke ene strani do nasprotne tocke drugega..

Ta segment je znan kot diagonal paralelepipeda. Vsak paralelepiped ima štiri diagonale.

Downtown

To je točka, v kateri se vsa diagonala sekajo.

Značilnosti paralelepipeda

Kot smo že omenili, ima to geometrijsko telo dvanajst robov, šest obrazov in osem tock.

V paralelepipedu lahko identificirate tri sklope, ki jih tvorijo štirje robovi, ki so med seboj vzporedni. Poleg tega robovi teh nizov izpolnjujejo tudi lastnost, da imajo enako dolžino.

Druga lastnost, ki jo imajo paralelepipedi, je, da so konveksni, to pomeni, da vzamemo kateri koli par točk, ki pripadajo notranjosti paralelepipeda, segment, ki ga določi omenjeni par točk, bo tudi znotraj paralelepipeda..

Poleg tega so paralelepipedi, ki so konveksni poliedri, skladni z Eulerovim izrekom za poliedre, kar nam daje razmerje med številom obrazov, številom robov in številom tock. Ta odnos je podan v obliki naslednje enačbe:

C + V = A + 2

Ta funkcija je znana kot Eulerjeva značilnost.

Kjer je C število obrazov, V število tock in A število robov.

Vrste

Paralelepipede lahko razvrstimo glede na njihove obraze v naslednjih vrstah:

Ortopedski

To so paralelepipedi, kjer so njihovi obrazi sestavljeni iz šestih pravokotnikov. Vsak pravokotnik je pravokoten s tistimi, ki si jih delijo robovi. So najpogostejši v našem vsakdanjem življenju, kot je to običajen način škatle za čevlje in opeke.

Kocka ali običajni heksaedr

To je poseben primer prejšnjega, kjer je vsak obraz kvadrat.

Kocka je tudi del geometrijskih teles, imenovanih platonske trdne snovi. Platonska trdna snov je konveksni polieder, tako da sta obe strani in njegovi notranji koti enaki.

Romboedro

To je paralelepiped z diamanti na obrazu. Ti diamanti so med seboj enaki, saj si delijo robove.

Romboiedro

Šest obrazov so romboidi. Spomnimo se, da je romboid poligon s štirimi stranicami in štirimi koti, ki so enaki dvema do dvema. Romboidi so paralelogrami, ki niso niti kvadratni, niti pravokotni, niti rombiji.

Po drugi strani pa so poševni paralelepipedi tisti, pri katerih se vsaj ena višina ne ujema z njegovim robom. V to klasifikacijo lahko vključimo romboedrone in rombikedrone.

Diagonalni izračun

Za izračun diagonale ortoedra lahko uporabimo Pitagorovo teorem za R³.

Spomnimo se, da ima ortoeder značilnost, da je vsaka stran pravokotna s stranicami, ki si delijo rob. Iz tega lahko sklepamo, da je vsak rob pravokoten s tistimi, ki delijo vrh.

Za izračun dolžine diagonale ortoedra nadaljujemo na naslednji način:

1. Izračunamo diagonalo enega od obrazov, ki ga bomo postavili kot osnovo. Za to uporabljamo Pitagorov izrek. Poimenujte ta diagonal d_b.

2. Nato z d_b lahko oblikujemo nov pravi trikotnik, tako da je hipotenuza omenjenega trikotnika diagonala D.

3. Ponovno uporabljamo Pitagorejski izrek in imamo dolžino omenjene diagonale:

Drugi način izračuna diagonal na bolj grafični način je z vsoto prostih vektorjev.

Spomnimo se, da sta dva prosti vektorja A in B dodana z namestitvijo repa vektorja B z konico vektorja A.

Vektor (A + B) je tisti, ki se začne na repu A in se konča na konici B.

Razmislite o paralelepipedu, na katerega želimo izračunati diagonalo.

Robove identificiramo s prikladno usmerjenimi vektorji.

Nato dodamo te vektorje in dobljeni vektor bo diagonal paralelepipeda.

Območje

Področje paralelepipeda je podano kot vsota vsakega izmed področij njihovih obrazov.

Če določimo eno od strani kot osnovo,

A_L + 2A_B = Skupna površina

Kjer je A_L je enako vsoti površin vseh stranic, ki mejijo na osnovo, ki se imenuje stransko območje in A_B je osnovna površina.

Glede na tip paralelepipeda, s katerim delamo, lahko ponovno napišemo formulo.

Območje ortoedra

Podana je s formulo

A = 2 (ab + bc + ca).

Primer 1

Glede na naslednji ortoeder, s stranicami a = 6 cm, b = 8 cm in c = 10 cm, izračunajte površino paralelepipeda in dolžino njegove diagonale.

Z uporabo formule za območje ortoedra moramo

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Upoštevajte, da je dolžina katerega koli od štirih diagonal enaka, ker je ortohedron.

Uporaba Pitagorejevega izreka za prostor moramo

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Območje kocke

Ker ima vsak rob enako dolžino, imamo a = b in a = c. Zamenjava v prejšnji formuli imamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Primer 2

Škatla igralne konzole ima obliko kocke. Če želimo to škatlo oviti z darilnim papirjem, koliko papirja bomo porabili, vedoč, da je dolžina robov kocke 45 cm?

S formulo kubičnega področja dobimo to

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Območje romboedra

Ker so vsi njihovi obrazi enaki, je dovolj izračunati površino enega od njih in jo pomnožiti s šestimi.

S pomočjo diagonal lahko izračunamo površino diamanta z naslednjo formulo

A_R = (Dd) / 2

S to formulo sledi, da je skupna površina romboedra

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Primer 3

Obrazi naslednjega romboedra tvorijo romb, katerega diagonale so D = 7 cm in d = 4 cm. Vaše območje bo

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Območje rombičnega

Za izračun površine rombičnega izračuna moramo izračunati površino romboidov, ki jo sestavljajo. Ker so paralelepipedi skladni z lastnostjo, da imajo nasprotne strani isto področje, lahko strani združimo v tri pare.

Na ta način bomo imeli vaše območje

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Kjer b_i so baze, povezane s stranmi in_i njegovo relativno višino, ki ustreza omenjenim osnovam.

Primer 4

Razmislite o naslednjem paralelepipedu,

kjer imajo stran A in stran A '(njena nasprotna stran) kot osnovo b = 10 in za višino h = 6. Označena površina bo imela vrednost

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B in B 'imata b = 4 in h = 6

A₂ = 2 (4) (6) = 48

C in C 'imata b = 10 in h = 5, torej

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Končno je območje romboedra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Prostornina paralelepipeda

Formula, ki nam daje volumen paralelepipeda, je zmnožek območja ene od njegovih obrazov z višino, ki ustreza obrazu.

V = A_Ch_C

Glede na vrsto paralelepiped lahko omenjeno formulo poenostavimo.

Tako imamo na primer, da bi prostornino ortoedra podali

V = abc.

Kjer a, b in c predstavljajo dolžino ortoedrovih robov.

In v posebnem primeru kocke je

V = a³

Primer 1

Obstajajo trije različni modeli piškotkov in želite vedeti, v kateri od teh modelov lahko shranite več piškotkov, to je, katera polja imajo največji obseg.

Prva je kocka, katere rob ima dolžino a = 10 cm

Njegov volumen je V = 1000 cm³

Drugi ima robove b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Zato je njegov volumen V = 765 cm³

Tretji pa e = 9 cm, f = 9 cm in g = 13 cm

Njegov volumen je V = 1053 cm³

Zato je škatla z največjim obsegom tretja.

Druga metoda za pridobitev volumna paralelepipeda je uporaba vektorske algebre. Zlasti trojni skalarni izdelek.

Ena od geometričnih interpretacij, ki ima trojni skalarni produkt, je volumen paralelepipeda, katerega robovi so trije vektorji, ki imajo isto izhodišče kot isto točko..

Na ta način, če imamo paralelepiped in želimo vedeti, kaj je njegov volumen, je dovolj, da ga predstavimo v koordinatnem sistemu v R³ ujemanje ene od njegovih tock z izhodišcem.

Nato predstavimo robove, ki se ujemajo z izvorom, z vektorji, kot je prikazano na sliki.

Na ta način imamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda podan z

V = | AxB | C |

Ali enakovredno je volumen determinanta matrike 3 × 3, ki jo tvorijo komponente robnih vektorjev.

Primer 2

S predstavitvijo naslednjega paralelepipeda v R³ vidimo, da so vektorji, ki jo določajo, naslednji

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) in w = (-0.25, -4, 4)

Uporaba trojnega skalarnega izdelka, ki ga imamo

V = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iz tega sklepamo, da je V = 60

Zdaj razmislite o naslednjih paralelepipedih v R3, katerih robovi so določeni z vektorji

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) in C = (3, 4, 4)

To nam daje uporaba determinant

Torej imamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda 112.

Oba sta enakovredna načina za izračun obsega.

Popoln paralelepiped

Znan je kot Eulerjeva opeka (ali Eulerjev blok) do ortoedra, ki izpolnjuje lastnost, da sta dolžina njegovih robov in dolžina diagonal vsakega od njegovih obrazov cela števila.

Medtem ko Euler ni bil prvi znanstvenik, ki je preučil ortohedrone, ki izpolnjujejo to lastnost, je našel zanimive rezultate o njih..

Manjšo Eulerjevo opeko je odkril Paul Halcke, dolžine njenih robov pa a = 44, b = 117 in c = 240.

Odprti problem v teoriji števil je naslednji

Ali obstajajo popolni ortoedrovi?

Trenutno na to vprašanje ni bilo mogoče odgovoriti, ker ni bilo mogoče dokazati, da ta telesa ne obstajajo, vendar ni bilo ugotovljeno nobeno.

Doslej je bilo dokazano, da obstajajo popolni paralelepipedi. Prva, ki jo najdemo, ima dolžino svojih robov vrednosti 103, 106 in 271.

Bibliografija

1. Guy, R. (1981). Nerešeni problemi v teoriji števil. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija. Napredek.
3. Leithold, L. (1992). IZRAČUN z analitično geometrijo. HARLA, S.A..
4. Rendon, A. (2004). Tehnična risba: Delovni zvezek 3 2. matura . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., in Krane, K. (2001). Fizika Vol. Mehika: Continental.