Najmanjša kvadratna metoda, rešene vaje in kaj služi



Metoda. \ T najmanj kvadratov je ena najpomembnejših aplikacij pri približevanju funkcij. Ideja je poiskati krivuljo tako, da ta funkcija glede na nabor urejenih parov bolje približa podatke. Funkcija je lahko linija, kvadratna krivulja, kubična krivulja itd..

Ideja metode je minimizirati vsoto kvadratov razlik med ordinatami (komponento Y), med točkami, ki jih generira izbrana funkcija, in točkami, ki pripadajo nizu podatkov..

Indeks

  • 1 metoda najmanjših kvadratov
  • 2 Vaje rešene
    • 2.1 Vaja 1
    • 2.2 Vaja 2
  • 3 Za kaj gre??
  • 4 Reference

Metoda najmanjših kvadratov

Preden uporabimo metodo, moramo najprej pojasniti, kaj pomeni "boljši pristop". Recimo, da iščemo črto y = b + mx, ki najbolje predstavlja niz točk n, in sicer (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Kot je prikazano na prejšnji sliki, če sta bili spremenljivki x in y povezani z linijo y = b + mx, je pri x = x1 ustrezna vrednost y b + mx1. Vendar se ta vrednost razlikuje od prave vrednosti y, ki je y = y1.

Spomnimo se, da je v ravnini razdalja med dvema točkama podana z naslednjo formulo:

S tem v mislih, da določimo, kako izbrati črto y = b + mx, ki najbolje ustreza danim podatkom, je smiselno uporabiti izbiro vrstice, ki minimizira vsoto kvadratov razdalj med točkami kot kriterij. in ravno.

Ker je razdalja med točkami (x1, y1) in (x1, b + mx1) y1- (b + mx1), je naš problem zmanjšan na iskanje m in b, tako da je naslednja vsota minimalna:

Vrstica, ki izpolnjuje ta pogoj, je znana kot "približek črte najmanjših kvadratov na točke (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Ko je problem rešen, moramo le izbrati metodo, s katero bi našli približek najmanjših kvadratov. Če so točke (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) vse na črti y = mx + b, bi morali biti kolinearni in:

V tem izrazu:

Končno, če točke niso kolinearne, se lahko y-Au = 0 in problem prevede v iskanje vektorja ali tako, da je evklidska norma minimalna.

Iskanje minimizirajočega vektorja ni tako težko, kot si morda mislite. Ker je A matrika nx2 in u je matrika 2 × 1, imamo vektor Au vektor v Rn in pripada podobi A, ki je podprostor Rn z dimenzijo, ki ni večja od dveh.

Predvidevamo, da je n = 3, ki kaže, kateri je postopek, ki ga je treba upoštevati. Če je n = 3, bo slika A ravnina ali črta, ki poteka skozi izvor.

Naj bo v minimizacijski vektor. Na sliki opazimo, da je y-Au minimiziran, če je pravokoten na sliko A. To pomeni, da če je v minimizirajoči vektor, se zgodi, da:

Nato lahko zgoraj navedeno izrazimo tako:

To se lahko zgodi le, če:

Končno, tako da počistimo v, moramo:

To je mogoče storiti od AtA je obrnljiva, dokler n točk, podanih kot podatki, niso kolinearne.

Zdaj, če namesto iskanja vrstice želimo najti parabolo (čigar izraz bi imel obliko y = a + bx + cx)2), ki je bil boljši približek za n podatkovnih točk, bi bil postopek, kot je opisano spodaj.

Če bi bila n podatkovnih točk v omenjeni paraboli, bi morala:

Nato:

Na podoben način lahko napišemo y = Au. Če vse točke niso v paraboli, imamo, da je y-Au drugačen od nič za vsak vektor u in naš problem je znova: poiščite vektor u v R3 tako, da je njegova norma || y-Au || biti čim manjši.

S ponovitvijo prejšnjega postopka lahko pridemo do vektorja, ki ga iščemo:

Rešene vaje

Vaja 1

Poiščite črto, ki najbolje ustreza točkam (1,4), (-2,5), (3, -1) in (4,1).

Rešitev

Moramo:

Nato:

Zato sklepamo, da je vrstica, ki najbolje ustreza točkam, podana z:

Vaja 2

Recimo, da je predmet padel z višine 200 m. Med padanjem se sprejmejo naslednji ukrepi: \ t

Vemo, da je višina omenjenega objekta, potem ko je minil čas t, podan z:

Če želimo pridobiti vrednost g, lahko najdemo parabolo, ki je boljši približek petim točkam v tabeli, zato bi imeli koeficient, ki spremlja t \ t2 razumno približevanje (-1/2) g, če so meritve točne.

Moramo:

In potem:

Torej so podatkovne točke prilagojene z naslednjim kvadratnim izrazom:

Nato morate:

To je vrednost, ki je relativno blizu prave, ki je g = 9,81 m / s2. Da bi dobili natančnejšo približevanje g, bi bilo treba začeti z natančnejšimi opažanji.

Za kaj je??

V problemih, ki se pojavljajo v naravnih ali družbenih vedah, je primerno, da se napišejo odnosi, ki se pojavljajo med različnimi spremenljivkami s pomočjo nekega matematičnega izraza..

Na primer, stroške (C), dohodek (I) in dobiček (U) lahko povezujemo v ekonomiji s preprosto formulo:

V fiziki lahko povežemo pospešek, ki ga povzroča gravitacija, čas, ko je predmet padel, in višino predmeta po zakonu:

V prejšnjem izrazu so je začetna višina objekta in vo je vaša začetna hitrost.

Vendar pa iskanje takih formul ni preprosta naloga; ponavadi je dolžnost strokovnjaka, da dela z veliko podatkov in večkrat izvede več poskusov (da bi preveril, ali so dobljeni rezultati konstantni), da bi našla razmerja med različnimi podatki.

Običajen način za dosego tega je predstavitev podatkov, pridobljenih v ravnini, kot točk in iskanje kontinuirane funkcije, ki se optimalno približuje tem točkam.

Eden od načinov za iskanje funkcije, ki "najbolje približa" dane podatke, je metoda najmanjših kvadratov.

Poleg tega, kot smo videli tudi v vaji, lahko zahvaljujoč tej metodi dobimo približke, ki so zelo blizu fizičnim konstantam.

Reference

  1. Linearna algebra Charlesa W Curtisa. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementarna teorija uporabnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J. Douglas Faires. Numerična analiza (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Uporaba linearne algebre. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Linearna algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO