Linearna interpolacijska metoda, rešene vaje



The linearna interpolacija je metoda, ki izhaja iz splošne interpolacije Newtona in omogoča s približkom določiti neznano vrednost, ki je med dvema danima številkama; to pomeni, da obstaja vmesna vrednost. Uporablja se tudi za približne funkcije, kjer so vrednosti f(a) in f(b) znane so in želite vedeti, da je vmesnik f(x).

Obstajajo različne vrste interpolacije, kot so linearne, kvadratne, kubične in višje stopnje, pri čemer je najenostavnejše linearno približevanje. Cena, ki jo je treba plačati z linearno interpolacijo, je, da rezultat ne bo tako natančen kot pri približkih funkcij višjih razredov.

Indeks

  • 1 Opredelitev
  • 2 Metoda
  • 3 Vaje rešene
    • 3.1 Vaja 1
    • 3.2 Vaja 2
  • 4 Reference

Opredelitev

Linearna interpolacija je proces, ki vam omogoča, da ugotovite vrednost med dvema dobro definiranima vrednostma, ki sta lahko v tabeli ali v linearnem grafu..

Na primer, če veste, da so 3 litre mleka vredni 4 $ in da je 5 litrov vredno 7 $, vendar želite vedeti, kakšna je vrednost 4 litrov mleka, interpolirani, da ugotovite, da je vmesna vrednost.

Metoda

Za oceno vmesne vrednosti funkcije se funkcija f približa(x) s premico r(x), kar pomeni, da se funkcija linearno spreminja z "x" za odsek "x = a" in "x = b"; to pomeni za vrednost "x" v intervalu (x0, x1) in (in0, in1), vrednost "y" je podana s črto med točkami in je izražena z naslednjim razmerjem:

(in - in. \ t0) ÷ (x - x0) = (in1 - in0) ÷ (x1 - x0)

Da bi bila interpolacija linearna, je potrebno, da je interpolacijski polinom stopnje 1 (n = 1), tako da se prilagodi vrednostim x0 in x1.

Linearna interpolacija temelji na podobnosti trikotnikov, tako da lahko, geometrično iz prejšnjega izraza, dobimo vrednost "y", ki predstavlja neznano vrednost za "x"..

Tako boste morali:

a = tan Ɵ = (nasprotna stran1 ÷ sosednjo nogo1) = (nasprotna stran2 ÷ sosednjo nogo2)

Izraženo na drug način, je:

(in - in. \ t0) ÷ (x - x0) = (in1 - in0) ÷ (x1 - x0)

Brisanje izrazov »in«, imate:

(in - in. \ t0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (in1 - in0)

(in - in. \ t0) = (in1 - in0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Tako dobimo splošno enačbo za linearno interpolacijo:

y = y0 + (in1 - in0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Na splošno linearna interpolacija daje majhno napako nad realno vrednostjo prave funkcije, čeprav je napaka minimalna v primerjavi z, če intuitivno izberete številko blizu tiste, ki jo želite najti..

Do te napake pride, ko skušate približati vrednost krivulje s premico; v teh primerih je treba velikost intervala zmanjšati, da bo približevanje bolj natančno.

Za boljše rezultate v zvezi s pristopom je priporočljivo uporabiti funkcije stopnje 2, 3 ali celo višjega razreda za izvedbo interpolacije. Za te primere je Taylorjev izrek zelo uporabno orodje.

Rešene vaje

Vaja 1

Število bakterij na enoto prostornine, ki obstaja v inkubaciji po x urah, je prikazano v naslednji tabeli. Želite vedeti, kolikšen je obseg bakterij v času 3,5 ure.

Rešitev

Referenčna tabela ne določa vrednosti, ki kaže količino bakterij za čas 3,5 ure, vendar imajo višje in nižje vrednosti, ki ustrezajo času 3 oziroma 4 ure. Na ta način:

x0 = 3 in0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 in1 = 135

Zdaj je matematična enačba uporabljena za iskanje interpolirane vrednosti, ki je naslednja:

y = y0 + (in1 - in0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Nato se nadomestijo ustrezne vrednosti:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Tako je ugotovljeno, da je za čas 3,5 ure količina bakterij 113, kar predstavlja vmesno raven med količino bakterij, ki obstaja v času 3 in 4 ure..

Vaja 2

Luis ima tovarno sladoleda in želi opraviti študijo, da bi določil dohodek, ki ga je imel avgusta, od nastalih stroškov. Vodja podjetja naredi graf, ki izraža to razmerje, vendar Luis želi vedeti:

Kakšen je dohodek za avgust, če je nastal strošek v višini 55.000 $??

Rešitev

Podan je graf z vrednostmi prihodkov in odhodkov. Luis želi vedeti, kakšen je avgustovski dohodek, če ima tovarna stroške v višini 55.000 dolarjev. Ta vrednost se ne odraža neposredno v grafikonu, vendar so vrednosti višje in nižje od tega.

Najprej je narejena tabela, kjer je mogoče zlahka povezati vrednosti:

Zdaj se za določitev vrednosti y uporablja interpolacijska formula

y = y0 + (in1 - in0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Nato se nadomestijo ustrezne vrednosti:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) * (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = 68.936 $.

Če je bil strošek v višini 55.000 $ v avgustu, je bil prihodek 68.936 $.

Reference

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Teme v geometrični teoriji skupin. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija, Enciklopedija matematike.
  4. , J. M. (1998). Elementi numeričnih metod za inženiring. UASLP.
  5. , E. (2002). Kronologija interpolacije: od starodavne astronomije do sodobne obdelave signalov in slik. Postopki IEEE.
  6. numerično, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.