Primeri delnih frakcij in primeri



The delne frakcije so frakcije, ki jih tvorijo polinomi, v katerih je imenovalec lahko linearni ali kvadratni polinom, poleg tega pa se lahko dvigne na neko moč. Včasih, ko imamo racionalne funkcije, je zelo koristno, da to funkcijo prepišemo kot vsoto delnih frakcij ali preprostih frakcij.

To je zato, ker lahko na ta način manipuliramo s temi funkcijami na boljši način, zlasti v tistih primerih, v katerih je treba to aplikacijo integrirati. Racionalna funkcija je preprosto količnik med dvema polinomoma in je lahko pravilen ali nepravilen.

Če je stopnja polinoma števca manjša od imenovalca, se imenuje lastna racionalna funkcija; drugače je znana kot nepravilna racionalna funkcija.

Indeks

  • 1 Opredelitev
  • 2 Primeri
    • 2.1 Primer 1
    • 2.2 Primer 2
    • 2.3 Primer 3
    • 2.4 Primer 4
  • 3 Aplikacije
    • 3.1 Celovit izračun
    • 3.2 Pravo množičnega delovanja
    • 3.3 Diferencialne enačbe: logistična enačba
  • 4 Reference

Opredelitev

Ko imamo nepravilno racionalno funkcijo, lahko polinom števca razdelimo med polinom imenovalca in tako prepišemo frakcijo p (x) / q (x), pri čemer sledimo algoritmu delitve kot t (x) + s (x) / q (x), kjer je t (x) polinom in s (x) / q (x) je racionalna lastna funkcija.

Delna frakcija je katera koli pravilna funkcija polinomov, katerih imenovalec ima obliko (ax + b)n o (sekira2+ bx + c)n, če je polinomska sekira2 + bx + c nima resničnih korenin in n je naravno število.

Da bi znova preračunali racionalno funkcijo v delnih frakcijah, je treba najprej določiti imenovalec q (x) kot produkt linearnih in / ali kvadratnih faktorjev. Ko se to izvede, se določijo delni deli, ki so odvisni od narave omenjenih dejavnikov.

Primeri

Več primerov obravnavamo ločeno.

Primer 1

Faktorji q (x) so vsi linearni in nobeden se ne ponovi. To je:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Tam ni linearnega faktorja, ki bi bil enak drugemu. Ko pride do tega primera, bomo napisali:

p (x) / q (x) = A1(a1x + b1) + A2(a2x + b2) ... + As(asx + bs).

Kjer je A1,A2,..., As so konstante, ki jih želite najti.

Primer

Racionalno funkcijo želimo razgraditi v preproste ulomke:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Nadaljujemo s faktorizacijo imenovalca, to je:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Nato:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Z uporabo najmanj skupnega večkratnika lahko pridobite to:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Želimo pridobiti vrednosti konstant A, B in C, ki jih lahko najdemo z zamenjavo korenin, ki odpovejo vsak izraz. Namesto 0 za x imamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zamenjava - 1 za x imamo:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zamenjava - 2 za x imamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 ° C

C = -3/2.

Na ta način dobimo vrednosti A = -1/2, B = 2 in C = -3/2..

Obstaja še ena metoda za pridobitev vrednosti A, B in C. Če je na desni strani enačbe x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x združujemo izraze, imamo:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Ker gre za enakost polinomov, imamo koeficiente leve strani enake tistim na desni strani. Rezultat tega je naslednji sistem enačb:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Pri reševanju tega sistema enačb dobimo rezultate A = -1/2, B = 2 in C = -3/2.

Nazadnje, nadomeščanje dobljenih vrednosti moramo:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Primer 2

Faktorji q (x) so linearni in nekateri se ponovijo. Recimo, da je (aks + b) faktor, ki se ponovi "s" -krat; potem ta faktor ustreza vsoti delnih frakcij "s".

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kjer je As,As-1,..., A1 to so konstante, ki jih je treba določiti. V naslednjem primeru bomo prikazali, kako določiti te konstante.

Primer

Razgradimo v delne frakcije:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Racionalno funkcijo zapišemo kot vsoto delnih frakcij, kot sledi:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Nato:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Če nadomestimo 2 za x, moramo:

7 = 4C, to je C = 7/4.

Namesto 0 za x imamo:

- 1 = -8A ali A = 1/8.

Če nadomestimo te vrednosti v prejšnji enačbi in jih razvijamo, moramo:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Npr2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Z ujemanjem koeficientov dobimo naslednji sistem enačb:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rešitev sistema:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Zaradi tega moramo:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Primer 3

Faktorji q (x) so kvadratne linearne, brez kvadratnega faktorja. V tem primeru je kvadratni faktor (sekira2 + bx + c) ustreza delni frakciji (Ax + B) / (sekira)2 + bx + c), kjer so konstante A in B tiste, ki jih želite določiti.

Naslednji primer prikazuje, kako nadaljevati v tem primeru

Primer

Razgradimo v preproste frakcije a (x + 1) / (x3 - 1).

Najprej preidemo na faktor imenovalca, kar nam daje rezultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

To lahko vidimo (x2 + x + 1) je neizvedljiv kvadratni polinom; to pomeni, da nima resničnih korenin. Njena razgradnja v delne frakcije bo naslednja:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Iz tega dobimo naslednjo enačbo:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Z enakostjo polinomov dobimo naslednji sistem:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Iz tega sistema imamo A = 2/3, B = - 2/3 in C = 1/3. Če zamenjamo, moramo:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Primer 4

Končno, primer 4 je tisti, v katerem so faktorji q (x) linearni in kvadratni, kjer se nekateri linearni kvadratni faktorji ponovijo.

V tem primeru da2 + bx + c) je kvadratni faktor, ki se ponovi "s" -krat, nato pa delni delež, ki ustreza faktorju (seki)2 + bx + c) bo:

(A1x + B) / (sekira2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (sekira)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (sekira)2 + bx + c)s

Kjer je As, As-1,..., A in Bs, Bs-1,..., B so konstante, ki jih želite določiti.

Primer

Želimo razdeliti naslednjo racionalno funkcijo v delne frakcije:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Kot x2 - 4x + 5 je nesvodljiv kvadratni faktor, njegova razgradnja v delne frakcije je podana z:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2= A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Poenostavimo in razvijamo:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iz zgoraj navedenega imamo naslednji sistem enačb:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Pri reševanju sistema moramo:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 in E = - 3/5.

Pri zamenjavi dobljenih vrednosti imamo:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2= -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Aplikacije

Celovit izračun

Delne frakcije se uporabljajo predvsem za proučevanje integralnega računa. Spodaj bomo videli nekaj primerov, kako narediti integrale z uporabo delnih frakcij.

Primer 1

Želimo izračunati integral:

Vidimo lahko, da imenovalec q (x) = (t + 2)2(t + 1) je sestavljen iz linearnih faktorjev, kjer se ena od teh ponavlja; za to smo v primeru 2.

Moramo:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Spremenimo enačbo in imamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Če je t = - 1, moramo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Če je t = - 2, nam daje:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Potem, če je t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Zamenjava vrednosti A in C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iz zgornjega je B = - 1.

Sestavino ponovno napišemo kot:

Nadaljujemo z reševanjem po metodi zamenjave:

To ima za posledico:

Primer 2

Rešite naslednji integral:

V tem primeru lahko faktor za q (x) = x2 - 4 kot q (x) = (x - 2) (x + 2). Očitno smo v primeru 1. Zato:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Lahko se izrazi tudi kot:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Če je x = - 2, imamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

In če je x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Zato moramo rešiti dani integral, ki je enakovreden reševanju:

To nam daje:

Primer 3

Rešite integral:

Imamo q (x) = 9x4 + x2 , da lahko faktor v q (x) = x2(9x2 + 1).

Ob tej priložnosti imamo ponavljajoči se linearni faktor in kvadratni faktor; to pomeni, da smo v primeru 3.

Moramo:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Združevanje in uporaba enakosti polinomov imamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iz tega sistema enačb moramo:

D = - 9 in C = 0

Na ta način imamo:

Z reševanjem zgoraj navedenega imamo:

Zakon množičnega ukrepanja

Zanimiva uporaba delnih frakcij, ki se uporabljajo za integralni račun, je v kemiji, natančneje v zakonu masovnega delovanja.

Predpostavimo, da imamo dve snovi, A in B, ki sta povezani in tvorita snov C, tako da je derivat količine C glede na čas sorazmeren zmnožku količin A in B v danem trenutku..

Zakon masovnega ukrepanja lahko izrazimo tako:

V tem izrazu je α začetna količina gramov, ki ustreza A in β začetna količina gramov, ki ustreza B.

Poleg tega r in s predstavljata število gramov A in B, ki sta združena, da tvorita r + s gramov C. Za njegov del x predstavlja število gramov snovi C v času t, in K je \ t sorazmernosti. Zgornjo enačbo lahko zapišemo kot:

Izvedba naslednje spremembe:

Imamo, da enačba postane:

Iz tega izraza lahko dobimo:

Kjer se da a, b, se lahko delne frakcije uporabijo za integracijo.

Primer

Vzemimo na primer snov C, ki izhaja iz združevanja snovi A z B, tako da je izpolnjen zakon mas, kjer so vrednosti a in b 8 in 6. Podajte enačbo, ki nam daje vrednost gramov C kot funkcijo časa.

Če nadomestimo vrednosti v danem masovnem zakonu, imamo:

Pri ločevanju spremenljivk imamo:

Tukaj lahko 1 / (8 - x) (6 - x) zapišemo kot vsoto delnih frakcij, kot sledi:

Tako je 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Če nadomestimo x za 6, dobimo B = 1/2; in ob zamenjavi x z 8, imamo A = - 1/2.

Integracija z delnimi frakcijami:

To nam daje:

Diferencialne enačbe: logistična enačba

Druga aplikacija, ki jo je mogoče dati delnim frakcijam, je v logistični diferencialni enačbi. V enostavnih modelih imamo stopnjo rasti prebivalstva sorazmerno z njeno velikostjo; to je:

Ta primer je idealen in velja za realnega, dokler se ne zgodi, da sredstva, ki so na voljo v sistemu, ne zadostujejo za ohranjanje prebivalstva.

V teh primerih je bolj smiselno misliti, da obstaja največja zmogljivost, ki jo bomo imenovali L, ki jo sistem lahko vzdrži, in da je stopnja rasti sorazmerna z velikostjo prebivalstva, pomnoženo z razpoložljivo velikostjo. Ta argument vodi do naslednje diferencialne enačbe:

Ta izraz se imenuje logistična diferencialna enačba. Gre za ločljivo diferencialno enačbo, ki jo lahko rešimo z metodo integracije z delnimi frakcijami.

Primer

Primer je razmisliti o populaciji, ki raste v skladu z naslednjo logistično diferencialno enačbo y '= 0.0004y (1000 - y), katere začetni podatki so 400. Želimo vedeti, kakšna je velikost populacije v času t = 2, kjer je t merjeno v letih.

Če zapišemo a in 'z Leibnizovo notacijo kot funkcijo, ki je odvisna od t, moramo:

Integral leve strani je mogoče rešiti z metodo integracije z delnimi frakcijami:

To zadnjo enakost lahko zapišemo na naslednji način:

- Zamenjava y = 0 pomeni, da je A enaka 1/1000.

- Zamenjava y = 1000 pomeni, da je B enak 1/1000.

S temi vrednostmi je integral zapustil na naslednji način:

Rešitev je:

Uporaba začetnih podatkov:

Ko počistite in smo zapustili:

Potem imamo to pri t = 2:

Skratka, po 2 letih je velikost populacije približno 597,37.

Reference

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Univerza v Andih. Svet za publikacije.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 rešenih integralov. Nacionalna eksperimentalna univerza v Tachiri.
  3. Leithold, L. (1992). IZRAČUN z analitično geometrijo. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., in Rigdon, S. E. (2007). Izračun. Mehika: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Celovit račun. Hipotenuza.