Zaporedni izvedeni finančni instrumenti (z rešenimi vajami)

The zaporednih derivatov so derivati ​​funkcije po drugem derivatu. Postopek izračuna zaporednih derivatov je naslednji: imamo funkcijo f, ki jo lahko izpeljemo in tako pridobimo derivacijsko funkcijo f '. Temu izpeljanemu f lahko ponovno izpeljemo, pri čemer dobimo (f ')'..

Ta nova funkcija se imenuje drugi derivat; vsi derivati, izračunani od drugega, so zaporedni; Ti, imenovani tudi višji vrstni red, imajo velike aplikacije, kot je podajanje informacij o grafikonu grafov funkcije, drugi izpeljani test za relativne skrajnosti in določanje neskončnih serij..

Indeks

• 1 Opredelitev
  • 1.1 Primer 1
  • 1.2 Primer 2
• 2 Hitrost in pospešek
  • 2.1 Primer 1
  • 2.2 Primer 2
• 3 Aplikacije
  • 3.1 Poenostavljena izpeljava
  • 3.2 Primer
  • 3.3 Relativni cilji
  • 3.4 Primer
  • 3.5 Taylorjeve serije
  • 3.6 Primer
• 4 Reference

Opredelitev

Z uporabo Leibnizovega zapisa imamo, da je derivat funkcije "in" glede na "x" dy / dx. Če želite izraziti drugi derivat "in" z uporabo Leibnizovega zapisa, pišemo na naslednji način:

Na splošno lahko zaporedne derivate izrazimo z naslednjo Leibnizovo notacijo, kjer n predstavlja vrstni red derivata.

Druge uporabljene oznake so naslednje:

Nekaj ​​primerov, kjer lahko vidimo različne oznake:

Primer 1

Pridobite vse derivate funkcije f, ki jo definira:

Z uporabo običajnih tehnik izpeljave imamo, da je derivat f:

S ponovitvijo postopka lahko dobimo drugi derivat, tretji derivat in tako naprej.

Upoštevajte, da je četrti derivat nič in derivat nič je nič, zato moramo:

Primer 2

Izračunajte četrto izpeljano naslednjo funkcijo:

Izpeljava dane funkcije, ki jo imamo kot rezultat:

Hitrost in pospešek

Ena od motivacij, ki so pripeljale do odkritja izvedenke, je bilo iskanje definicije trenutne hitrosti. Formalna opredelitev je naslednja:

Naj bo y = f (t) funkcija, katere graf opisuje krivuljo delca v trenutku t, potem je njegova hitrost v trenutku t podana z:

Ko dobimo hitrost delca, lahko izračunamo trenutni pospešek, ki je definiran na naslednji način:

Trenuten pospešek delca, katerega pot je podana z y = f (t), je:

Primer 1

Delec se premika po liniji glede na funkcijo položaja:

Kjer se "y" meri v metrih in "t" v sekundah.

- V trenutku, ko je hitrost 0?

- V trenutku, ko je vaš pospešek 0?

Pri izračunu funkcije položaja "in" imamo, da sta njena hitrost in pospešek podani z:

Da bi odgovorili na prvo vprašanje, je dovolj, da določimo, kdaj funkcija v postane nič; to je:

Analogno nadaljujemo z naslednjim vprašanjem:

Primer 2

Delci se premikajo po črti v skladu z naslednjo enačbo gibanja:

Določite "t, y" in "v", če je a = 0.

Poznavanje hitrosti in pospeševanja je podano z

Nadaljujemo s pridobivanjem in pridobivanjem:

Če naredimo a = 0, imamo:

Iz tega lahko sklepamo, da je vrednost t za a enaka nič = t = 1.

Potem, ko ocenjujemo funkcijo položaja in funkcijo hitrosti pri t = 1, moramo:

Aplikacije

Poenostavljena izpeljava

Zaporedne derivate lahko dobimo tudi z implicitno izpeljavo.

Primer

Glede na naslednjo elipso, poiščite "in":

Izhajajoče implicitno glede na x imamo:

Potem, ko ponovno implicitno izpeljemo x, nam daje:

Končno imamo:

Relativni zaključki

Druga uporaba, ki jo lahko damo derivatom drugega reda, je v izračunu relativnih koncev funkcije.

Kriterij prvega izpusta za lokalne ekstreme nam pove, da če imamo funkcijo f kontinuirano v območju (a, b) in obstaja c, ki spada v ta interval, potem je f 'razveljavljen v c (to je, da c) je kritična točka), eden od teh treh primerov se lahko pojavi:

- Če je f '(x)> 0 za vsak x, ki pripada (a, c) in f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Če je f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 za x, ki pripada (c, b), je f (c) lokalni minimum.

- Če ima f '(x) isti znak v (a, c) in v (c, b), pomeni, da f (c) ni lokalna končna točka..

Z uporabo merila drugega izvedenca lahko vemo, ali je kritično število funkcije maksimalno ali lokalno, ne da bi morali videti, kaj je znak funkcije v prej omenjenih intervalih..

Merilo drugega izpeljave nam pove, da če je f '(c) = 0 in da je f ((x) neprekinjeno v (a, b), se zgodi, da je f (c)> 0 potem f (c) lokalni minimum in če f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Če je f (c) = 0, ne moremo ničesar sklepati.

Primer

Glede na funkcijo f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², poiščite relativne maksimume in minimume f, pri čemer uporabite kriterij drugega izvedenca.

Najprej izračunamo f '(x) in f "(x) in imamo:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Zdaj, f '(x) = 0, če in samo če je 4x (x + 2) (x - 1) = 0, in to se zgodi, ko je x = 0, x = 1 ali x = - 2.

Da bi ugotovili, ali so pridobljene kritične številke relativne skrajnosti, je dovolj, da ocenimo v f 'in tako opazimo njegov znak.

f "(0) = - 8, tako da je f (0) lokalni maksimum.

f "(1) = 12, tako da je f (1) lokalni minimum.

f "(- 2) = 24, tako da je f (- 2) lokalni minimum.

Taylorjeve serije

Naj bo f definirana kot:

Ta funkcija ima polmer konvergence R> 0 in ima derivate vseh ukazov v (-R, R). Zaporedni derivati ​​f nam dajejo:

Ob x = 0 lahko dobimo vrednosti c_n temelji na njenih izvedenih finančnih instrumentih: \ t

Če vzamemo n = 0 kot funkcijo f (to je, f ^ 0 = f), potem lahko funkcijo prepišemo na naslednji način:

Sedaj upoštevajmo funkcijo kot vrsto moči v x = a:

Če izvedemo analogno analizo prejšnjega, moramo funkcijo f zapisati kot:

Te serije so znane kot Taylorjeve serije f v a. Pri a = 0 imamo poseben primer, ki se imenuje Maclaurinova serija. Ta vrsta serij je zelo pomembna pri matematični analizi, saj lahko zahvaljujoč tem definiramo funkcije v računalnikih, kot je npr^x , sin (x) in cos (x).

Primer

Get Maclaurin serije za e^x.

Upoštevajte, da če je f (x) = e^x, potem f⁽ⁿ⁾(x) = e^x in f⁽ⁿ⁾(0) = 1, zato je njegova serija Maclaurin:

Reference

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5od izračun. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). IZRAČUN z analitično geometrijo. HARLA, S.A..
3. Purcell, E. J., Varberg, D., in Rigdon, S. E. (2007). Izračun. Mehika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencialni izračun. Hipotenuza.
5. Saenz, J. (s.f.). Celovit račun. Hipotenuza.