Algebrski derivati ​​(s primeri)



The algebrski derivati sestavljeni so v študiju izvedenke v posameznem primeru algebrskih funkcij. Izvor pojma izpeljanke sega v staro Grčijo. Razvoj tega pojma je bil motiviran s potrebo po reševanju dveh pomembnih problemov, enega iz fizike in drugega iz matematike.

V fiziki derivat rešuje problem določanja trenutne hitrosti premikajočega se predmeta. V matematiki lahko najdete tangento do krivulje na določeni točki.

Čeprav je resnično veliko več problemov, ki se rešujejo z izvedenimi, kot tudi njegove posplošitve, rezultati, ki so nastali po uvedbi njegovega koncepta..

Pionirji diferencialnega računa so Newton in Leibniz. Pred podajanjem formalne definicije bomo z matematičnega in fizičnega vidika razvili idejo.

Indeks

  • 1 Izvedba kot naklon tangente do krivulje
  • 2 Izvedba kot trenutna hitrost premikajočega se predmeta
    • 2.1 Algebraična funkcija
  • 3 Pravila izpeljave
    • 3.1 Izpeljano iz konstante
    • 3.2 Izvedba moči
    • 3.3 Izpeljano iz seštevanja in odštevanja
    • 3.4 Izpeljani proizvod
    • 3.5 Izhaja iz količnika
    • 3.6 Pravilo verige
  • 4 Reference

Izvedba kot naklon tangentne črte na krivuljo

Denimo, da je graf funkcije y = f (x) neprekinjen graf (brez vrhov ali tock ali ločitev) in A = (a, f (a)) je fiksna tocka na njem. Želimo poiskati enačbo tangentne črte na graf funkcije f v točki A.

Vzemite katero koli drugo točko P = (x, f (x)) grafa, blizu točke A, in narišite zaporedno črto, ki poteka skozi A in P. Skrita črta je črta, ki reže krivuljo krivulje v eni ali več točk.

Za pridobitev tangentne črte, ki jo želimo, moramo le izračunati naklon, ker že imamo točko na liniji: točka A.

Če premaknemo točko P vzdolž grafa in jo približamo točki A, se bo omenjena sekalna črta približala tangentni črti, ki jo želimo najti. Ob omejitvi, ko "P teži k A", bosta obe črti sovpadali, torej tudi njena pobočja.

Nagib sekalne linije je podan z

Reči, da P pristopa A, je enakovredna trditvi, da »x« pristopa »a«. Tako bo naklon tangentne črte na graf f v točki A enak:

Zgornji izraz je označen s f '(a) in je definiran kot izpeljava funkcije f v točki "a". Torej vidimo, da je analitično, derivat funkcije v točki meja, vendar geometrično, da je nagib linije, ki se dotika grafa funkcije v točki.

Sedaj bomo videli ta pojem s stališča fizike. Enak izraz prejšnje omejitve bomo dosegli, čeprav na drugačen način, pri čemer bomo dobili soglasje opredelitve.

Izvedba kot trenutna hitrost premikajočega se predmeta

Poglejmo kratek primer tega, kaj pomeni hitra hitrost. Ko je na primer rečeno, da je avto za dosego cilja to storil s hitrostjo 100 km na uro, kar pomeni, da je v eni uri prešla 100 km..

To ne pomeni nujno, da je bil ves čas avtomobila vedno 100 km stran, merilnik hitrosti avtomobila pa bi lahko v nekaterih trenutkih označil manj ali več. Če bi se moral ustaviti na semaforju, je bila hitrost v tem trenutku 0 km. Po eni uri pa je bila pot 100 km.

To je tisto, kar je znano kot povprečna hitrost in je podano s količnikom prevožene razdalje med preteklim časom, kot smo pravkar videli. Na drugi strani pa je trenutna hitrost tista, ki na trenutek (čas) označuje iglo merilnika hitrosti avtomobila..

Poglejmo to zdaj bolj na splošno. Recimo, da se objekt premika vzdolž črte in da je ta premik predstavljen z enačbo s = f (t), kjer spremenljivka t meri čas in spremenljivko s premik, ob upoštevanju njegovega začetka v trenutek t = 0, takrat je tudi nič, to je f (0) = 0.

Ta funkcija f (t) je znana kot funkcija položaja.

Iskan je izraz za trenutno hitrost objekta v fiksnem trenutku "a". Pri tej hitrosti jo bomo označili z V (a).

Naj bo vsak trenutek blizu trenutnega "a". V časovnem intervalu med "a" in "t" je sprememba položaja predmeta podana s f (t) -f (a).

Povprečna hitrost v tem časovnem intervalu je:

Ki je približek trenutne hitrosti V (a). Ta približek bo boljši, ko se t približuje "a". Zato,

Opazujte, da je ta izraz enak tistemu, ki smo ga dobili v prejšnjem primeru, vendar z drugačne perspektive. To je tisto, kar je znano kot derivat funkcije f v točki "a" in je označeno s f '(a), kot je navedeno zgoraj..

Upoštevajte, da je sprememba h = x-a, da ko je "x" nagnjena k "a", se "h" nagiba k 0 in prejšnja meja se pretvori (enakovredno) v:

Oba izraza sta enakovredna, včasih pa je bolje uporabiti enega namesto drugega, odvisno od primera.

Derivat funkcije f je potem definiran na splošno v kateri koli točki "x", ki pripada njeni domeni kot

Najbolj običajna notacija, ki predstavlja derivacijo funkcije y = f (x), je tista, ki smo jo pravkar videli (f 'o in'). Vendar pa je druga pogosto uporabljena oznaka Leibnizova notacija, ki je predstavljena kot katerikoli od naslednjih izrazov:

Glede na to, da je izpeljani finančni instrument v bistvu meja, lahko obstaja ali pa tudi ne, ker meje niso vedno prisotne. Če obstaja, je rečeno, da je zadevna funkcija diferenciabilna na dani točki.

Algebraična funkcija

Algebraična funkcija je kombinacija polinomov s pomočjo vsot, odštevanj, produktov, količnikov, moči in radikalov.

Polinom je izraz oblike

Pn= anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+... + a2x2+ a1x + a0

Kjer je n naravno število in vse ai, z i = 0,1, ..., n, so racionalne številke in an. 0 V tem primeru velja, da je stopnja tega polinoma n.

Sledijo primeri algebrskih funkcij:

Tukaj niso vključene eksponentne, logaritmične in trigonometrične funkcije. Pravila izpeljave, ki jih bomo videli spodaj, veljajo za funkcije na splošno, vendar se bomo omejili in jih uporabili v primeru algebrskih funkcij..

Prehodna pravila

Izhaja iz konstante

Ugotavlja, da je derivat konstante enak nič. To pomeni, da če je f (x) = c, potem je f '(x) = 0. Na primer, derivat konstantne funkcije 2 je enak 0.

Izhaja iz moči

Če je f (x) = xn, potem f '(x) = nxn-1. Na primer, derivat x3 To je 3x2. Posledica tega je, da je izpeljava funkcije identitete f (x) = x f '(x) = 1x1-1= x0= 1.

Drug primer je naslednji: be f (x) = 1 / x2, potem f (x) = x-2 in f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

Ta lastnost velja tudi za korenine, ker so korenine racionalne moči in zgoraj navedeno lahko uporabite tudi v tem primeru. Na primer, izpeljava kvadratnega korena je podana z

Izhaja iz vsote in odštevanja

Če sta f in g različni funkciji v x, potem je tudi vsota f + g različna in je (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogno imamo to (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Z drugimi besedami, derivat vsote (odštevanje) je vsota (ali odštevanje) izvedenih finančnih instrumentov.

Primer

Če je h (x) = x2+x-1, potem

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Izpeljan iz izdelka

Če sta f in g različni funkciji v x, potem je tudi proizvod fg diferenciabilen v x in je izpolnjen, da

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Posledica tega je, da če je c konstanta in f diferenčna funkcija v x, potem je cf tudi diferencirana v x in (cf) '(x) = cf' (X)..

Primer

Če je f (x) = 3x (x2+1), potem

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Izhaja iz količnika

Če sta f in g razločljiva v x in g (x), 0, je tudi f / g diferencialen v x, in res je, da

Primer: če je h (x) = x3/ (x2-5x), potem

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

Pravilo verige

To pravilo omogoča izpeljavo sestave funkcij. Določa naslednje: če je y = f (u) diferenciabilen v u, je yu = g (x) diferenciabilen v x, potem je sestavljena funkcija f (g (x)) diferencialna v x, in se prepriča, da [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

To pomeni, da je derivat sestavljene funkcije produkt izpeljave zunanje funkcije (zunanjega izvedenega finančnega instrumenta) z izpeljanimi notranjimi funkcijami (interni izpeljani)..

Primer

Če je f (x) = (x4-2x)3, potem

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

Obstajajo tudi rezultati za izračun izpeljave inverzne funkcije, kot tudi posplošitev na izpeljanke višjega reda. Vloge so obsežne. Med njimi poudarjajo svoje pripomočke pri problemih optimizacije ter maksimalnih in minimalnih funkcij.

Reference

  1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencialni izračun. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). Izračun 4000. Uredništvo progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). Matematika pred izračunom. Univerza v Medellinu.
  4. Eduardo, N. A. (2003). Uvod v izračun. Izdaje pragov.
  5. Viri, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod v izračun. Lulu.com.
  6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., in Varberg, D. E. (2007). Izračun. Pearson Education.
  7. Saenz, J. (2005). Diferencialni izračun (Druga izdaja). Barquisimeto: Hipotenuza.
  8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Izračun: več spremenljivk. Pearson Education.