Izračun približkov z uporabo diferenciala

Približevanje v matematiki je število, ki ni natančna vrednost nečesa, vendar je tako blizu, da se šteje kot uporabno kot točna vrednost.

Pri približevanju v matematiki je to zato, ker je ročno težko (ali včasih nemogoče) poznati natančno vrednost tistega, kar si želimo.

Glavno orodje pri delu s približki je razlika funkcije.

Diferencial funkcije f, označen z Δf (x), ni več kot izpeljava funkcije f, pomnožena s spremembo neodvisne spremenljivke, to je Δf (x) = f '(x) * Δx.

Včasih df in dx uporabljamo namesto Δf in Δx.

Pristopi z uporabo diferenciala

Formula, ki se uporablja za izračun aproksimacije preko diferenciala, izhaja prav iz definicije izpeljave funkcije kot omejitve.

Ta formula je podana z:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tu se razume, da je Δx = x-x0, torej x = x0 + Δx. S tem lahko formulo prepišemo kot

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Treba je opozoriti, da "x0" ni poljubna vrednost, ampak je vrednost takšna, da je f (x0) zlahka znana; Poleg tega je "f (x)" le vrednost, ki jo želimo približati.

Ali obstajajo boljši približki?

Odgovor je pritrdilen. Prejšnji je najenostavnejši približek, imenovan "linearni približek"..

Za boljše približke kakovosti (napaka je manjša) se uporabljajo polinomi z več derivati, imenovanimi "Taylorjevi polinomi", kot tudi druge numerične metode, kot je Newton-Raphsonova metoda..

Strategije

Strategija, ki jo je treba upoštevati, je:

- Izberite ustrezno funkcijo f za izvedbo približka in vrednost "x", tako da je f (x) vrednost, ki jo želite približati.

- Izberite vrednost "x0", blizu "x", tako da je f (x0) lahko izračunati.

- Izračunajte Δx = x-x0.

- Izračunaj derivat funkcije in f '(x0).

- Zamenjajte podatke v formuli.

Rešene vaje za približevanje

V nadaljevanju je serija vaj, kjer so približki narejeni z diferencialom.

Prva vaja

Približno .3.

Rešitev

Po strategiji je treba izbrati ustrezno funkcijo. V tem primeru je razvidno, da mora biti izbrana funkcija f (x) = √x in približna vrednost je f (3) = √3.

Sedaj moramo izbrati vrednost "x0" blizu "3", tako da je f (x0) lahko izračunati. Če izberete "x0 = 2", imate "x0" blizu "3", vendar f (x0) = f (2) = is2 ni lahko izračunati.

Ustrezna vrednost "x0" je "4", ker je "4" blizu "3" in tudi f (x0) = f (4) = =4 = 2.

Če je "x = 3" in "x0 = 4", potem je Δx = 3-4 = -1. Zdaj nadaljujemo z izračunom derivata f. To pomeni, da je f '(x) = 1/2 * √x, tako da je f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Če zamenjamo vse vrednosti v formuli, dobimo:

=3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Če uporabimo kalkulator, dobimo, da ≈3≈1.73205 ... To kaže, da je prejšnji rezultat dober približek realne vrednosti.

Druga vaja

Približno .10.

Rešitev

Kot prej je izbran kot funkcija f (x) = andx in v tem primeru x = 10.

Vrednost x0, ki jo je treba izbrati v tej priložnosti, je "x0 = 9". Nato imamo, da je Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 in f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Pri vrednotenju v formuli dobite to

=10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Z uporabo kalkulatorja dobite, da je 10 ≈ 3.1622776 ... Tu lahko vidite tudi, da je bil dober približek pridobljen pred.

Tretja vaja

Približno ³√10, kjer ³√ označuje kubični koren.

Rešitev

Jasno je, da je funkcija, ki jo je treba uporabiti v tej vaji, f (x) = ³√x in vrednost "x" mora biti "10".

Vrednost, ki je blizu "10", tako da je znana njena kocka, je "x0 = 8". Nato imamo, da je Δx = 10-8 = 2 in f (x0) = f (8) = 2. Imamo tudi, da je f '(x) = 1/3 * ³√x², in posledično f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Če nadomestimo podatke v formuli, dobimo, da:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulator pravi, da je ³√10 ≈ 2.15443469 ... Zato je ugotovljen približek dober.

Četrta vaja

Približno ln (1.3), kjer "ln" označuje naravno logaritemsko funkcijo.

Rešitev

Najprej izberemo funkcijo f (x) = ln (x) in vrednost "x" je 1.3. Zdaj, ko vemo malo o logaritemski funkciji, lahko vemo, da je ln (1) = 0 in tudi "1" je blizu "1.3". Zato se izbere "x0 = 1" in tako Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Po drugi strani pa f '(x) = 1 / x, tako da je f' (1) = 1. Pri ocenjevanju v dani formuli morate:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Ko uporabljate kalkulator, morate v ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Zato je približek narejen dobro.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: pristop reševanja problemov (2, Ilustrirana ed.). Michigan: Prenticeova dvorana.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ur.). Učenje Cengage.
5. Leal, J. M., in Viloria, N. G. (2005). Ravna analitična geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., in Rigdon, S. E. (2007). Izračun (Deveto izd.). Prenticeova dvorana.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialni račun z zgodnjimi transcendentalnimi funkcijami za znanost in tehniko (Druga izdaja izd.). Hipotenuza.
9. Scott, C. A. (2009). Kartezijeva ravninska geometrija, del: analitična konika (1907) (ponatis natis.). Vir strele.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.