Tehnike tehničnega štetja, aplikacije in primeri



The tehnike štetja so vrsta verjetnostnih metod za štetje možnega števila ureditev znotraj niza ali več sklopov objektov. Te se uporabljajo pri ročnem ustvarjanju računov zaradi velikega števila objektov in / ali spremenljivk.

Rešitev tega problema je na primer zelo preprosta: zamislite si, da vas vaš šef prosi, da preštejete zadnje izdelke, ki so prispeli v zadnji uri. V tem primeru lahko izdelke preštejete po eno.

Vendar pa si zamislite, da je težava v tem: vaš šef vas prosi, da preštejte, koliko skupin 5 izdelkov iste vrste lahko oblikujete s tistimi, ki so prispeli zadnjo uro. V tem primeru izračun postane zapleten. Za tovrstne razmere se uporabljajo tako imenovane tehnike štetja.  

Te tehnike so več, vendar so najpomembnejše razdeljene na dva osnovna načela, ki sta multiplikativna in aditivna; permutacije in kombinacije.

Indeks

  • 1 multiplikativno načelo
    • 1.1 Aplikacije
    • 1.2 Primer
  • 2 Načelo dodatkov 
    • 2.1 Aplikacije
    • 2.2 Primer
  • 3 Permutacije
    • 3.1 Aplikacije
    • 3.2 Primer
  • 4 Kombinacije
    • 4.1 Aplikacije
    • 4.2 Primer
  • 5 Reference 

Multiplikativno načelo

Aplikacije

Multiplikativno načelo, skupaj z dodatkom, je osnovno za razumevanje delovanja tehnik štetja. V primeru multiplikatorja vsebuje naslednje: \ t

Predstavljajte si aktivnost, ki vključuje določeno število korakov (celotna vrednost je označena kot "r"), pri čemer je prvi korak mogoče sestaviti iz oblik N1, drugega koraka N2 in koraka "r" oblik Nr. V tem primeru se lahko dejavnost izvede iz števila oblik, ki izhajajo iz te operacije: N1 x N2 x ... .x Nr oblike

Zato se to načelo imenuje multiplikativno in pomeni, da mora biti vsak od korakov, ki so potrebni za izvedbo dejavnosti, opravljen eden za drugim.. 

Primer

Predstavljajmo si osebo, ki želi zgraditi šolo. Da bi to naredili, upoštevajte, da je podnožje zgradbe lahko zgrajeno na dva različna načina, cement ali beton. Kot je za stene, so lahko izdelani iz adobe, cementa ali opeke.

Za streho je lahko izdelana iz cementa ali pocinkane pločevine. Končno se lahko končno slikanje opravi le na en način. Vprašanje, ki se postavlja, je naslednje: Koliko šol mora zgraditi??

Najprej upoštevamo število stopnic, ki bi bile osnova, stene, streha in slika. Skupaj 4 koraka, torej r = 4.

Naslednji seznam bi bil N:

N1 = načini gradnje osnove = 2

N2 = načini gradnje zidov = 3

N3 = načini izdelave strehe = 2

N4 = načini izdelave barve = 1

Zato bi se število možnih oblik izračunalo po zgoraj opisani formuli: \ t

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 načinov dokončanja šole.

Načelo dodatkov

Aplikacije

To načelo je zelo preprosto in je, da v primeru obstoja več alternativ za opravljanje enake dejavnosti, možni načini vsebujejo vsoto različnih možnih načinov za izvedbo vseh alternativ..

Z drugimi besedami, če želimo opraviti dejavnost s tremi alternativami, kjer se prva alternativa lahko izvede v M oblikah, druga v N obrazcih in zadnja v W obliki, lahko dejavnost sestavimo iz: M + N + ... + W obrazcev..

Primer

Predstavljajte si tokrat osebo, ki želi kupiti teniški lopar. Za to ima tri blagovne znamke: Wilson, Babolat ali Head.

Ko gre v trgovino, vidi, da je Wilsonov reket mogoče kupiti z ročajem dveh različnih velikosti, L2 ali L3 v štirih različnih modelih in se lahko nalepka ali brez strganja..

Babolat lopar ima tri ročice (L1, L2 in L3), dva različna modela, lahko pa sta tudi nanizana ali brez vezanja..

Raketa Head je na drugi strani samo z eno ročico, L2, v dveh različnih modelih in samo brez žice. Vprašanje je: Koliko načinov ima ta oseba za nakup svojega loparja??

M = Število načinov za izbiro Wilsonovega loparja

N = število načinov za izbiro loparja Babolat

W = število načinov za izbiro loparja glave

Način množenja:

M = 2 x 4 x 2 = 16 oblik

N = 3 x 2 x 2 = 12 oblik

W = 1 x 2 x 1 = 2 oblike

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 načinov za izbiro loparja.

Če želite vedeti, kdaj uporabiti multiplikativno načelo in dodatek, morate samo pogledati, ali ima aktivnost vrsto korakov, ki jih je treba izvesti, in če obstaja več alternativ, je dodatek.

Permutacije

Aplikacije

Da bi razumeli, kaj je permutacija, je pomembno, da razložite, kaj je kombinacija, da jih ločite in veste, kdaj jih boste uporabili..

Kombinacija bi bila ureditev elementov, v katerih nas ne zanima položaj, ki ga ima vsak od njih.

Po drugi strani pa bi bila permutacija ureditev elementov, v katerih nas zanima položaj, ki ga ima vsak od njih..

Dajmo primer, da bi bolje razumeli razliko.

Primer

Predstavljajte si razred s 35 študenti in z naslednjimi situacijami:

  1. Učitelj želi, da mu trije učenci pomagajo ohranjati razred čist ali dostaviti materiale drugim študentom, ko ga potrebuje.
  2. Učitelj želi imenovati razredne delegate (predsednika, pomočnika in finančnika)..

Rešitev bi bila naslednja:

  1. Predstavljajte si, da so z glasovanjem Juan, María in Lucía izbrani za čiščenje razreda ali dostavo materialov. Očitno so se lahko oblikovale tudi druge skupine treh oseb, med 35 možnimi študenti.

Vprašati se moramo naslednje: ali je pomembno, da je vrstni red ali položaj, ki ga ima vsak študent v času izbire??

Če razmišljamo o tem, vidimo, da res ni pomembno, saj bo skupina za obe nalogi skrbela enako. V tem primeru gre za kombinacijo, saj nas ne zanima položaj elementov.

  1. Zdaj si predstavljajte, da je John izbran za predsednika, Maria kot pomočnica in Lucia kot finančna.

Ali je v tem primeru zadeva pomembna? Odgovor je pritrdilen, ker če spremenimo elemente, se rezultat spremeni. Če namesto, da bi ga postavili za predsednika, smo ga postavili za pomočnika, Maria pa kot predsednico, bi se končni rezultat spremenil. V tem primeru gre za permutacijo.

Ko je razlika razumljena, bomo dobili formule permutacij in kombinacij. Vendar pa moramo najprej definirati izraz "n!" (V faktorialno), ker bo uporabljen v različnih formulah.

n! = za izdelek od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Uporaba z realnimi številkami:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formula za permutacije bi bila naslednja:

nPr = n! / (n-r)!

Z njim lahko ugotovimo ureditev, kjer je red pomemben, in kjer so n elementi različni.

Kombinacije

Aplikacije

Kot smo že omenili, so kombinacije ureditve, pri katerih nas ne zanima položaj elementov.

Njegova formula je naslednja:

nCr = n! / (n-r)! r!

Primer

Če je 14 študentov, ki želijo prostovoljno očistiti učilnico, koliko čistilnih skupin lahko vsaka skupina sestavi 5 ljudi??

Rešitev bi bila zato naslednja:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 skupin

Reference

  1. Jeffrey, R.C.., Verjetnost in umetnost sodbe, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "Uvod v teorijo verjetnosti in njene uporabe."", (Vol. 1), 3. Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Logični temelji in merjenje subjektivne verjetnosti". Psihološki akt.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Uvod v matematično statistiko (6. izd.). Reka zgornjega sedla: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Znanost o domnevi: Dokazi in verjetnost pred Pascalom,Johns Hopkins University Press.