Kakšne vrste integrali obstajajo?



The vrste integralov ki jih najdemo v izračunu, so: nedoločeni integrali in definirani integrali. Čeprav imajo definitivni integrali veliko več aplikacij kot nedoločeni integrali, se je treba najprej naučiti reševati nedoločene integrale..

Ena izmed najbolj privlačnih aplikacij določenih integralov je izračun obsega trdne revolucije.

Obe vrsti integralov imata enake lastnosti linearnosti in tudi tehnike integracije niso odvisne od tipa integrala.

Kljub temu, da je zelo podobna, je glavna razlika; v prvi vrsti integrala je rezultat funkcija (ki ni specifična), v drugem pa rezultat.

Dve osnovni vrsti integralov

Svet integralov je zelo širok, vendar lahko znotraj tega ločimo dve osnovni vrsti integralov, ki imata veliko uporabnost v vsakdanjem življenju..

1 - Nedoločeni integrali

Če je F '(x) = f (x) za vse x v domeni f, rečemo, da je F (x) antiderivativen, primitivni ali integral od f (x)..

Po drugi strani opažamo, da (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), kar pomeni, da integral funkcije ni edinstven, saj bomo podajali različne vrednosti konstanti C in dobili drugačno vrednost. antivirusnih sredstev.

Zato se F (x) + C imenuje nedoločen integral f (x) in C se imenuje konstanta integracije in jo zapišemo na naslednji način:

Kot lahko vidimo, je nedoločen integral funkcije f (x) družina funkcij.

Na primer, če želite izračunati nedoločen integral funkcije f (x) = 3x², morate najprej najti antiderivativ f (x).

Ugotovimo lahko, da je F (x) = x³ antiderivativen, ker je F '(x) = 3x². Zato je mogoče sklepati, da

(F (x) dx = x3x²dx = x³ + C.

2 - opredeljeni integrali

Naj bo y = f (x) dejanska funkcija, neprekinjena v zaprtem intervalu [a, b] in je F (x) antiderivativen od f (x). Imenuje se določen integral f (x) med mejama a in b na številko F (b) -F (a) in je označen kot sledi

Zgoraj prikazana formula je bolj znana kot "Temeljna teorema računa". Tu se "a" imenuje spodnja meja in "b" se imenuje zgornja meja. Kot lahko vidite, je določen sestavni del funkcije številka.

V tem primeru, če se izračuna določen integral f (x) = 3x² v intervalu [0,3], se dobi število..

Za določitev te številke izberemo F (x) = x³ kot antiderivativno od f (x) = 3x². Nato izračunamo F (3) -F (0), kar nam daje rezultat 27-0 = 27. Skratka, določen integral f (x) v intervalu [0,3] je 27.

Poudarimo lahko, da če je izbran G (x) = x³ + 3, je G (x) antiderivativen od f (x), ki ni F (x), vendar to ne vpliva na rezultat, ker G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Zaradi tega se v definiranih integralih konstanta integracije ne pojavi.

Ena izmed najbolj uporabnih aplikacij, ki jo ima ta vrsta integralov, je ta, da omogoča izračun površine (volumna) ravne številke (trdne revolucije), določitev primernih funkcij in mej integracije (in rotacijske osi)..

V okviru definiranih integralov lahko najdemo različne razširitve tega, kot na primer linearni integrali, površinski integrali, nepravilni integrali, večkratni integrali, med drugim vsi z zelo uporabnimi aplikacijami v znanosti in inženirstvu..

Reference

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Je enostavno integrirati? Samouk priročnik. Madrid: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., in Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Celovit izračun (Ilustrirana ed.). Madrid: ESIC Uvodnik.
  3. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematika. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: pristop reševanja problemov (2, Ilustrirana ed.). Michigan: Prenticeova dvorana.
  5. Kishan, H. (2005). Integralni račun. Atlantic Publishers & Distributors.
  6. Purcell, E. J., Varberg, D., in Rigdon, S. E. (2007). Izračun (Deveto izd.). Prenticeova dvorana.