Kaj so poševni trikotniki? (z rešenimi vajami)



The poševni trikotniki so tisti trikotniki, ki niso pravokotniki. To pomeni, da so trikotniki tako, da nobeden od njegovih kotov ni pravokoten (njegova meritev je 90 °)..

Brez pravokotnega kota se pitagorejska teorema ne more uporabiti za te trikotnike.

Zato je za poznavanje podatkov v poševnem trikotniku potrebno uporabiti druge formule.

Formule, potrebne za reševanje poševno-kotnega trikotnika, so ti zakoni sinusov in kosinusov, ki bodo opisani kasneje..

Poleg teh zakonov lahko vedno uporabimo dejstvo, da je vsota notranjih kotov trikotnika enaka 180º..

Kosi trikotniki

Kot je bilo rečeno na začetku, je poševni trikotnik trikotnik, tako da nobeden od njegovih kotov ne meri 90 °.

Problem iskanja dolžine stranic poševno-kotnega trikotnika, kot tudi iskanje meritev njegovih kotov, se imenuje "ločljivost poševnih trikotnikov"..

Pomembno dejstvo pri delu s trikotniki je, da je vsota treh notranjih kotov trikotnika enaka 180 °. To je splošen rezultat, zato se lahko za poševne trikotnike uporabi tudi.

Zakoni prsi in kosinusa

Glede na trikotnik ABC s stranicami dolžine "a", "b" in "c":

- Zakon prsi navaja, da je a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kjer sta A, B in C nasproten kot "a", "b" in "c" v tem zaporedju.

- Zakon kosinusov navaja, da: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Enakovredno se lahko uporabijo naslednje formule:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ali a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

S pomočjo teh formul lahko izračunate podatke trikotnika s poševnim kotom.

Vaje

Tukaj je nekaj vaj, kjer boste našli manjkajoče podatke o danih trikotnikih, iz določenih posredovanih podatkov.

Prva vaja

Glede na trikotnik ABC, tako da je A = 45º, B = 60º in a = 12cm, izračunajte druge podatke v trikotniku.

Rešitev

Če uporabimo, da je vsota notranjih kotov trikotnika enaka 180º, morate

C = 180 ° -45 ° -60 ° = 75 °.

Trije koti so že znani. Nato uporabite zakon prsi za izračun dveh strani, ki manjkajo.

Zastavljene enačbe so 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Iz prve enakosti lahko počistite "b" in dobite to

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Lahko tudi počistite "c" in to dobite

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Druga vaja

Glede na trikotnik ABC, tako da je A = 60º, C = 75º in b = 10cm, izračunajte druge podatke trikotnika.

Rešitev

Kot pri prejšnji vaji, B = 180º-60º-75º = 45º. Poleg tega je z uporabo zakona prsi potrebno, da je a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), iz katerega je ugotovljeno, da je a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm in c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Tretja vaja

Glede na trikotnik ABC, tako da je a = 10cm, b = 15cm in C = 80º, izračunajte druge podatke trikotnika.

Rešitev

V tej vaji je znan samo en kot, zato ne morete začeti kot v prejšnjih dveh vajah. Prav tako ni mogoče uporabiti prava prsi, ker ni mogoče rešiti enačbe.

Zato nadaljujemo z uporabo zakona kosinusov. Takrat je to

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

tako da je c ≈ 16,51 cm. Zdaj, ko poznam 3 strani, se uporablja zakon prsi in dobiš

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Od tu naprej se pri čiščenju B pojavlja brez (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, kar pomeni, da je B ≈ 63.38º.

Sedaj je mogoče ugotoviti, da je A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Četrta vaja

Strani poševnega trikotnika so a = 5cm, b = 3cm in c = 7cm. Izračunajte kote trikotnika.

Rešitev

Tudi zakon prsi ni mogoče uporabiti neposredno, ker nobena enačba ne bi služila za pridobitev vrednosti kotov.

Z uporabo zakona kosinusa imamo c² = a² + b² - 2ab cos (C), kjer, ko očistimo, imamo cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 in zato C = 120 °.

Zdaj, če lahko uporabite zakon prsi in dobite 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), kjer lahko počistite B in dobite to brez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, tako da je B = 21.79º.

Nazadnje je zadnji kot izračunan z uporabo A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

Reference

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija (Reprint ed.). Napredek.
  2. Leake, D. (2006). Trikotniki (ilustrirana ed.). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrije. Tehnologija CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearson Education.