Kaj so Trigonometrične meje? (z rešenimi vajami)

The trigonometrične meje to so meje funkcij, tako da te funkcije tvorijo trigonometrične funkcije.

Obstajata dve definiciji, ki ju je treba poznati, da bi razumeli, kako se izvaja izračun trigonometrične meje.

Te opredelitve so:

- Omejitev funkcije "f", ko "x" kaže na "b": sestoji iz izračuna vrednosti, do katere se približuje f (x), ko se "x" približa "b", ne da bi dosegel "b".

- Trigonometrične funkcije: trigonometrične funkcije so sinusne, kosinusne in tangentne funkcije, označene s sin (x), cos (x) in tan (x)..

Druge trigonometrične funkcije so pridobljene iz treh zgoraj navedenih funkcij.

Meje funkcij

Da bi pojasnili koncept mejne funkcije, bomo nadaljevali s prikazom nekaterih primerov s preprostimi funkcijami.

- Meja f (x) = 3, ko je "x" nagnjena k "8", je enaka "3", ker je funkcija vedno konstantna. Ne glede na to, koliko "x" je vredno, bo vrednost f (x) vedno "3".

- Meja f (x) = x-2, ko je "x" nagnjena k "6", je "4". Od kdaj se "x" približa "6", potem se "x-2" približa "6-2 = 4".

- Omejitev vrednosti g (x) = x², ko je "x" nagnjena k "3", je enaka 9, saj se "x" približuje "3", potem se "x²" približa "3² = 9".

Kot je razvidno iz prejšnjih primerov, izračunavanje omejitve obsega vrednotenje vrednosti, ki ji "x" prinaša funkcijo, in rezultat bo vrednost meje, čeprav je to res samo za zvezne funkcije..

Ali obstajajo bolj zapletene meje?

Odgovor je pritrdilen. Zgornji primeri so najpreprostejši primeri omejitev. V knjigah izračuna so glavne omejitve vaje tiste, ki ustvarjajo nedoločljivost tipa 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 in (∞) ^ 0.

Ti izrazi se imenujejo nedoločitve, ker so izrazi, ki matematično nimajo smisla.

Poleg tega, odvisno od funkcij, ki so vključene v prvotno mejo, je lahko rezultat, dobljen pri reševanju nedoločitev, različen za vsak primer.

Primeri enostavnih trigonometričnih omejitev

Za reševanje omejitev je vedno zelo koristno poznati grafe vključenih funkcij. Spodaj so grafi sinusnih, kosinusnih in tangentnih funkcij.

Nekateri primeri enostavnih trigonometričnih omejitev so:

- Izračunajte mejo sin (x), ko "x" kaže na "0".

Pri ogledu grafa lahko vidite, da se »x« približuje »0« (tako na levi kot na desni), potem pa se tudi sinusni graf približuje »0«. Zato je meja sin (x), ko "x" kaže na "0", "0".

- Izračunajte mejo cos (x), kadar "x" kaže na "0".

Če opazimo kosinusni graf, vidimo, da ko je "x" blizu "0", potem je kosinusni graf blizu "1". To pomeni, da je meja cos (x), ko "x" kaže na "0", enaka "1".

Meja lahko obstaja (je število), kot v prejšnjih primerih, lahko pa se zgodi, da ne obstaja, kot je prikazano v naslednjem primeru..

- Meja tan (x), ko je "x" na levi enaka "2/2", je enaka "+ ∞", kot je razvidno iz grafa. Po drugi strani pa je meja tan (x), ko "x" nagiba k "-Π / 2" na desni, enaka "-∞"..

Identitete trigonometričnih meja

Dve zelo uporabni identiteti pri izračunu trigonometričnih omejitev sta:

- Meja "sin (x) / x", ko je "x" nagnjena k "0", je enaka "1".

- Omejitev "(1-cos (x)) / x", ko "x" kaže na "0", je enaka "0".

Te identitete se zelo pogosto uporabljajo, če imate nekakšno nedoločenost.

Rešene vaje

Z zgoraj opisanimi identitetami rešite naslednje omejitve.

- Izračunajte mejo "f (x) = sin (3x) / x", ko "x" kaže na "0".

Če je funkcija "f" ocenjena v "0", se dobi nedoločljivost tipa 0/0. Zato moramo poskusiti razrešiti to nedoločenost z opisanimi identitetami.

Edina razlika med to mejo in identiteto je številka 3, ki se pojavi znotraj sinusne funkcije. Za uporabo identitete je treba funkcijo "f (x)" ponovno napisati na naslednji način "3 * (sin (3x) / 3x)". Zdaj sta oba argumenta sinusa in imenovalca enaka.

Torej, ko se "x" nagiba k "0", uporabite rezultate identitete v "3 * 1 = 3". Zato je meja f (x), ko "x" kaže na "0", enaka "3".

- Izračunajte mejo "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", ko "x" kaže na "0".

Ko je "x = 0" v g (x), dobimo nedoločljivost tipa ∞-∞. Da bi jo rešili, se odštejejo frakcije, kar daje rezultat "(1-cos (x)) / x".

Zdaj, ko uporabimo drugo trigonometrično identiteto, imamo mejo g (x), ko "x" teži na "0", je enaka 0.

- Izračunajte mejo "h (x) = 4tan (5x) / 5x", ko "x" kaže na "0".

Če ponovno ocenite h (x) do "0", boste dobili nedoločitev tipa 0/0.

Ponovni zapis tan (5x) kot sin (5x) / cos (5x) rezultatov, da je h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Z uporabo meje 4 / cos (x), ko je "x" nagnjena k "0", je enaka "4/1 = 4" in je pridobljena prva trigonometrična identiteta, da je meja h (x), ko "x" kaže "0" je enako "1 * 4 = 4".

Opazovanje

Trigonometričnih omejitev ni vedno lahko rešiti. V tem članku so prikazani samo osnovni primeri.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: pristop reševanja problemov (2, Ilustrirana ed.). Michigan: Prenticeova dvorana.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ur.). Učenje Cengage.
5. Leal, J. M., in Viloria, N. G. (2005). Ravna analitična geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., in Rigdon, S. E. (2007). Izračun (Deveto izd.). Prenticeova dvorana.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialni račun z zgodnjimi transcendentalnimi funkcijami za znanost in tehniko (Druga izdaja izd.). Hipotenuza.
9. Scott, C. A. (2009). Kartezijeva ravninska geometrija, del: analitična konika (1907) (ponatis natis.). Vir strele.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.