Multiplikativne tehnike štetja in primeri



The multiplikativno načelo je tehnika, ki se uporablja za reševanje problemov štetja, da bi našli rešitev, ne da bi bilo treba navesti njene elemente. Znan je tudi kot temeljno načelo kombinatorične analize; temelji na zaporednem množenju, da se določi, kako se lahko zgodi dogodek.

To načelo določa, da če odločba (d1) se lahko sprejme na n način in druga odločitev (d2) se lahko upošteva v skupnem številu načinov sprejemanja odločitev1 in d2 bo enak množenju n * m. Po načelu je vsaka odločitev ena za drugo: število načinov = N1 * N2... * Nx načinov.

Indeks

  • 1 Primeri
    • 1.1 Primer 1
    • 1.2 Primer 2
  • 2 Tehnike štetja
    • 2.1 Načelo dodajanja
    • 2.2 Načelo permutacije
    • 2.3 Načelo kombinacije
  • 3 Vaje rešene
    • 3.1 Vaja 1
    • 3.2 Vaja 2
  • 4 Reference

Primeri

Primer 1

Paula namerava oditi v kino s svojimi prijatelji in izbrati oblačila, ki jih bo nosila, ločila sem 3 bluze in 2 krila. Koliko se lahko Paula obleče??

Rešitev

V tem primeru mora Paula sprejeti dve odločitvi:

d1 = Izberite med 3 bluzami = n

d2 = Izberite med 2 krili = m

Tako ima Paula n * m odločitve za izdelavo ali različne načine oblačenja.

n * m = 3* 2 = 6 odločitev.

Multiplikativno načelo izhaja iz tehnike drevesnega diagrama, ki je diagram, ki povezuje vse možne rezultate, tako da se lahko vsak pojavlja končno število krat..

Primer 2

Mario je bil zelo žejen, zato je odšel v pekarno in kupil sok. Luis mu odgovori in mu pove, da ima dve velikosti: veliko in majhno; in štiri okuse: jabolko, pomarančo, limono in grozdje. Koliko načinov lahko Mario izbere sok?

Rešitev

V diagramu lahko opazimo, da ima Mario 8 različnih načinov za izbiro soka in da je, kot v multiplikativnem načelu, ta rezultat dobljen z množenjem n.*m. Edina razlika je, da lahko s tem diagramom veste, kako je Mario izbral sok.

Po drugi strani, ko je število možnih rezultatov zelo veliko, je bolj praktično uporabiti multiplikativno načelo.

Tehnike štetja

Tehnike štetja so metode, ki se uporabljajo za neposredno štetje in tako poznajo število možnih ureditev, ki jih lahko imajo elementi določenega niza. Te tehnike temeljijo na več načelih:

Načelo dodatka

To načelo določa, da če se dva dogodka m in n ne pojavita istočasno, bo število načinov prvega ali drugega dogodka lahko vsota m + n:

Število obrazcev = m + n ... + x različnih oblik.

Primer

Antonio se želi odpraviti na izlet, vendar se ne odloči, na katero destinacijo; v turistični agenciji South vam nudijo promocijo za potovanje v New York ali Las Vegas, medtem ko turistična agencija East priporoča potovanje v Francijo, Italijo ali Španijo. Koliko različnih potovalnih alternativ ponuja Antonio?

Rešitev

Z Južno turistično agencijo ima Antonio dve alternativi (New York ali Las Vegas), medtem ko ima agencija East Tourism 3 možnosti (Francija, Italija ali Španija). Število različnih alternativ je:

Število alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Načelo permutacije

Gre za naročanje posebej vseh ali nekaterih elementov, ki sestavljajo sklop, da se olajša štetje vseh možnih ureditev, ki jih je mogoče narediti z elementi..

Število permutacij n različnih elementov, vzetih naenkrat, je predstavljeno kot:

nPn = n!

Primer

Štirje prijatelji želijo sliko in želijo vedeti, koliko različnih oblik je mogoče naročiti.

Rešitev

Želite poznati vse možne načine, na katere lahko postavite štiri osebe, da bi posneli sliko. Torej morate:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 različnih načinov.

Če je število permutacij n razpoložljivih elementov vzeto iz delov niza, ki ga tvorijo r elementi, je predstavljen kot:

nPr = n! N (n - r)!

Primer

V učilnici je 10 mest. Če se na oddelku udeležijo štirje učenci, koliko učencev lahko zasedejo?

Rešitev

Skupno število nizov stolov je 10, od tega se bo uporabilo le štiri.Dana formula se uporabi za določitev števila permutacij:

nPr = n! N (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! . 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1. 6*5*4*3*2*1 = 5040 načinov za zapolnitev delovnih mest.

Obstajajo primeri, v katerih se nekateri razpoložljivi elementi niza ponavljajo (so enaki). Za izračun števila aranžmajev ob vseh elementih naenkrat se uporabi naslednja formula:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

Primer

Koliko besed iz štirih črk lahko oblikujete iz besede "volk"?

Rešitev

V tem primeru imamo 4 elemente (črke), od katerih sta dva popolnoma enaka. Če uporabimo dano formulo, vemo, koliko različnih besed je:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! . 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 = 2 = 12 različnih besed.

Načelo kombinacije

Gre za fiksiranje vseh ali nekaterih elementov, ki tvorijo niz brez posebnega reda. Na primer, če imate matriko XYZ, bo med drugim identična nizom ZXY, YZX, ZYX; to je zato, ker kljub temu, da niso v istem vrstnem redu, so elementi vsakega dogovora enaki.

Če so sprejeti nekateri elementi (r) množice (n), se načelo kombinacije poda z naslednjo formulo:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Primer

V trgovini prodajajo 5 različnih vrst čokolade. Na različne načine lahko izberete 4 čokolade?

Rešitev

V tem primeru morate izbrati 4 čokolade iz 5 vrst, ki se prodajajo v trgovini. Vrstni red, po katerem so izbrani, ni pomemben in poleg tega se lahko vrsta čokolade izbere več kot dvakrat. Z uporabo formule morate:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! (1)!!

5C4 = 5*4*3*2*1. 4*3*2*1

5C4 = 120 = 24 = 5 različnih načinov za izbiro 4 čokolade.

Če so sprejeti vsi elementi (r) množice (n), se načelo kombinacije poda z naslednjo formulo:

nCn = n!

Rešene vaje

Vaja 1

Imate baseball ekipo s 14 člani. Na koliko načinov lahko dodelite 5 položajev za igro?

Rešitev

Niz je sestavljen iz 14 elementov in želite dodeliti 5 določenih položajev; to je tisto, kar je pomembno. Uporabi se permutacijska formula, kjer so n razpoložljivih elementov vzeti deli niza, ki ga tvori r.

nPr = n! N (n - r)!

Kjer je n = 14 in r = 5. Zamenja se v formuli:

14P5 = 14! 14 (14 - 5)!

14P5 = 14! (9)!

14P5 = 240 240 načinov za dodelitev 9 pozicij iger.

Vaja 2

Če devetčlanska družina odide na potovanje in kupi vozovnice z zaporednimi sedeži, koliko različnih načinov lahko sedi?

Rešitev

Gre za 9 elementov, ki bodo zaporedno zasedli 9 sedežev.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 različnih načinov sedenja.

Reference

  1. Hopkins, B. (2009). Viri za poučevanje diskretne matematike: projektni prostori, moduli zgodovine in členi.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretna matematika Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Reševalec končnih in diskretnih problemov. Uredniki združenj za raziskave in izobraževanje.
  4. Padro, F. C. (2001). Diskretna matematika Politèc. Katalonije.
  5. Steiner, E. (2005). Matematika za uporabne znanosti. Reverte.