Lastnosti Homothety, vrste in primeri

The homotecia je geometrijska sprememba v ravnini, kjer se iz fiksne točke, imenovane središče (O), razdalje pomnožijo s skupnim faktorjem. Na ta način vsaka točka P ustreza drugi točki P 'produkta transformacije, ki je poravnana s točko O.

Potem je homothety ustreznost med dvema geometrijskima figurama, kjer se transformirane točke imenujejo homotetične, ki so poravnane s fiksno točko in s segmenti, vzporednimi drug drugemu..

Indeks

• 1 Homotecia
• 2 Lastnosti
• 3 Vrste
  • 3.1 Neposredna homotelija
  • 3.2 Povratna homotetija
• 4 Sestava
• 5 Primeri
  • 5.1 Prvi primer
  • 5.2 Drugi primer
• 6 Reference

Homothety

Homotetija je transformacija, ki nima skladne podobe, ker bo iz slike dobljena ena ali več številk, ki so večje ali manjše od prvotne slike; to pomeni, da homothety pretvori poligon v drugega podobnega.

Da bi homotetija, ki jo je treba izpolniti, mora ustrezati točki od točke do ravne in ravne, tako da so pari homolognih točk poravnani s tretjo fiksno točko, ki je središče homothety..

Prav tako morajo biti pari linij, ki se jim pridružijo, vzporedni. Razmerje med takšnimi segmenti je konstanta, imenovana razmerje med homotetijo (k); tako, da je homotetijo mogoče opredeliti kot: \ t

Če želite to vrsto transformacije začeti z izbiro poljubne točke, ki bo središče homothety.

Od te točke se črti segmenti za vsako točko številke, ki jo je treba preoblikovati. Lestvica, na kateri se opravi reprodukcija nove številke, je podana z razlogom homothety (k).

Lastnosti

Ena od glavnih lastnosti homothety je, da so zaradi homotetije (k) vse homotetične številke podobne. Med drugimi izjemnimi lastnostmi so:

- Središče homotetije (O) je edina dvojna točka in se preoblikuje vase; to se ne spreminja.

- Linije, ki prehajajo skozi središče, se preoblikujejo (so dvojne), vendar točke, ki jo sestavljajo, niso dvojne.

- Ravne, ki ne gredo skozi središče, se spremenijo v vzporedne črte; na ta način ostanejo koti homotetije enaki.

- Podoba segmenta s homoteto središča O in razmerje k je segment, ki je vzporeden temu in ima k krat svojo dolžino. Na primer, kot je prikazano na naslednji sliki, bo segment AB po homotetičnem rezultatu dobil še en segment A'B ', tako da bo AB vzporeden z A'B' in k bo:

- Homotetični koti so skladni; to pomeni, da imajo isti ukrep. Zato je slika kota kot enake amplitude.

Po drugi strani se homotetija spreminja glede na vrednost njenega razmerja (k) in lahko se pojavijo naslednji primeri:

- Če je konstanta k = 1, so vse točke fiksirane, ker se spremenijo. Tako homotetična figura sovpada z izvirnikom in transformacija se imenuje identitetna funkcija.

- Če je k, 1, bo edina fiksna točka središče homotetije (O).

- Če je k = -1, homotetija postane centralna simetrija (C); to pomeni, da se bo vrtenje okoli C pojavilo pod kotom 180^o.

- Če je k> 1, bo velikost preoblikovane številke večja od velikosti originala.

- Da 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Da -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Če je k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Vrste

Homotetijo lahko tudi razvrstimo v dve vrsti, odvisno od vrednosti njenega razmerja (k):

Neposredna homotetija

To se zgodi, če konstanta k> 0; to pomeni, da so homotetične točke na isti strani glede na središče:

Faktor sorazmernosti ali razmerje podobnosti med neposrednimi homotetičnimi podatki bo vedno pozitiven.

Povratna homotetika

To se zgodi, če je konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor sorazmernosti ali razmerje podobnosti med homotetičnimi inverznimi številkami bo vedno negativno.

Sestava

Če se zaporedoma izvede več premikov, dokler se ne doseže številka, ki je enaka originalu, se pojavi sestava gibov. Sestava več gibov je tudi gibanje.

Sestava med dvema homotecijama povzroči novo homoteko; to pomeni, da imamo homotetičen produkt, v katerem bo središče poravnano s središčem dveh izvirnih transformacij, razmerje (k) pa je produkt dveh razlogov..

Tako v sestavi dveh H homotheces₁(Or₁, k₁) in H₂(Or₂, k₂), pomnožite razloge: k₁ x k₂ = 1 povzroči homoteto razmerja k₃ = K₁ x k₂. Središče te nove homotetije (O₃) se bo nahajalo na ravni O₁ O₂.

Homotetija ustreza ravni in nepopravljivi spremembi; če se uporabita dve homoteci z enakim središčem in razmerjem, vendar z drugačnim znakom, se dobi prvotna številka.

Primeri

Prvi primer

Nanesite homothety na dani center poligon (O), ki se nahaja 5 cm od točke A in katerih razmerje je k = 0,7.

Rešitev

Vsaka točka je izbrana kot središče homothety, in iz tega žarka so narisane s tockami na sliki:

Razdalja od središča (O) do točke A je OA = 5; s tem lahko določite razdaljo ene od homotetičnih točk (OA), vedoč tudi, da je k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Postopek lahko izvedemo za vsako vozlišče ali pa narišemo homotetični poligon, ki spominja, da imata oba poligona vzporedne strani:

Končno, transformacija izgleda takole:

Drugi primer

Nanesite homothety na dani center poligon (O), ki se nahaja na 8,5 cm od točke C in katerega y razmerje k = -2.

Rešitev

Razdalja od centra (O) do točke C je OC = 8,5; s temi podatki je mogoče določiti razdaljo ene od homotetičnih točk (OC '), vedoč, da je k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Ko narišemo segmente tock transformiranega poligona, imamo izhodišcne tocke in njihove homotetike v nasprotnih koncih glede na sredisce:

Reference

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehnično risanje: zvezek dejavnosti.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J.L. (2002). Afiniteta, homologija in homotetija.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra in projekcijska geometrija. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Splošna matematika, verjetnosti in statistika.
5. Meserve, B. E. (2014). Temeljni koncepti geometrije. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Uvod v algebro. Reverte.