Metode in primeri faktorizacije

The faktorizacija je metoda, s katero se polinom izrazi v obliki množenja faktorjev, ki so lahko številke, črke ali oboje. Faktoriziramo faktorje, ki so skupni izrazom, in jih tako razčlenimo na več polinomov..

Če se faktorji med seboj pomnožijo, je rezultat izvirni polinom. Faktoring je zelo uporabna metoda, če imate algebraične izraze, ker se lahko pretvori v množenje več preprostih izrazov; Na primer: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Obstajajo primeri, v katerih polinoma ni mogoče faktorizirati, ker med njegovimi izrazi ni skupnega faktorja; torej so ti algebrski izrazi deljivi samo med seboj in z 1. Na primer: x + y + z.

V algebrskem izrazu je skupni faktor največji skupni delitelj izrazov, ki ga sestavljajo.

Indeks

• 1 Metode faktoringa
  • 1.1 Faktoring po skupnem dejavniku
  • 1.2 Primer 1
  • 1.3 Primer 2
  • 1.4 Faktoring po skupinah
  • 1.5 Primer 1
  • 1.6 Faktoring s pregledom
  • 1.7 Primer 1
  • 1.8 Primer 2
  • 1.9 Faktoring z izjemnimi izdelki
  • 1.10 Primer 1
  • 1.11 Primer 2
  • 1.12 Primer 3
  • 1.13 Faktoring z Ruffinijevim pravilom
  • 1.14 Primer 1
• 2 Reference

Metode faktoringa

Obstaja več metod faktoringa, ki se uporabljajo glede na primer. Nekatere od teh so naslednje:

Faktoring po skupnem faktorju

Pri tej metodi so identificirani tisti dejavniki, ki so skupni; to so tiste, ki se ponavljajo v izrazih. Nato uporabimo razdelitveno lastnost, odstranimo največji skupni delitelj in dokončamo faktorizacijo.

Z drugimi besedami, skupni faktor izražanja je identificiran in vsak izraz je razdeljen med njim; dobljeni izrazi bodo pomnoženi z največjim skupnim faktorjem za izražanje faktorizacije.

Primer 1

Faktor (b²x) + (b²y).

Rešitev

Najprej je skupni faktor vsakega izraza, ki je v tem primeru b², in nato se izrazi delijo na skupni dejavnik, kot sledi:

(b.)²x) / b² = x

(b.)²y) / b² = y.

Faktorizacija je izražena, pomnoževanje skupnega faktorja z dobljenimi izrazi:

(b.)²x) + (b²y) = b² (x + y).

Primer 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

Rešitev

V tem primeru imamo dva dejavnika, ki se ponavljata v vsakem izrazu, ki sta "a" in "b", in ki sta dvignjena na moč. Da bi jih upoštevali, je treba najprej razčleniti oba izraza na njihovo dolgo obliko:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Ugotovimo lahko, da se faktor "a" ponovi samo enkrat v drugem izrazu in faktor "b" se v njej ponovi dvakrat; tako je v prvem terminu samo 2, faktor "a" in "b"; medtem ko je v drugem mandatu le 3.

Zato pišemo čas, ko se "a" in "b" ponavljata in pomnožita s faktorji, ki ostanejo iz vsakega izraza, kot je prikazano na sliki:

Faktorizacija z združevanjem

Ker ni v vseh primerih jasno izražen največji skupni delitelj polinoma, je potrebno narediti še druge korake, da lahko prepišemo polinom in s tem faktor..

Eden od teh korakov je združiti pogoje polinoma v več skupin in nato uporabiti metodo skupnega faktorja.

Primer 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Rešitev

Obstajajo štirje dejavniki, kjer sta dva skupna: v prvem izrazu je "c", v drugem pa "d". Tako sta oba izraza združena in ločena:

(ac + bc) + (oglas + bd).

Zdaj je mogoče uporabiti metodo skupnega faktorja, ki vsak izraz razdeli na njegov skupni faktor in nato pomnoži ta skupni faktor z dobljenimi izrazi, kot je ta:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sedaj dobite binomial, ki je skupen za oba izraza. Faktor je pomnožen z ostalimi dejavniki; tako morate:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizacija s pregledom

Ta metoda se uporablja za faktor kvadratnih polinomov, imenovanih tudi trinomiali; to so tiste, ki so strukturirane kot sekira² ± bx + c, kjer je vrednost "a" drugačna od 1. Ta metoda se uporablja tudi, kadar ima trinomija obliko x² ± bx + c in vrednost "a" = 1.

Primer 1

Faktor x² + 5x + 6.

Rešitev

Imate kvadratni trinomij oblike x² ± bx + c. Najprej je treba navesti dve številki, ki se, ko pomnožimo, kot rezultat poda vrednost "c" (to je 6) in da je njena vsota enaka koeficientu "b", ki je 5. Te številke so 2 in 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tako je izraz poenostavljen tako:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Vsak izraz je vključen:

- Za (x² + 2x) izvleček skupnega izraza: x (x + 2)

- Za (3x + 6) = 3 (x + 2)

Tako ostane izraz:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ker imate skupni binomial, da zmanjšate izraz, ga pomnožite s pogoji presežka in morate:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Primer 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

Rešitev

Imate kvadratni trinomij oblike osi² ± bx + c in za faktor se izraz izraz pomnoži s koeficientom x²; v tem primeru 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Sedaj moramo najti dve številki, ki se, ko se pomnožita skupaj, dobita kot rezultat vrednost "c" (ki je 36) in ko se skupaj dodata koeficient izraza "a", ki je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Na ta način se izraz ponovno napiše ob upoštevanju tega² a² = 4a _* 4a. Zato se za vsak izraz uporablja razdelitvena lastnina:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Nazadnje je izraz deljen s koeficientom²; to je 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Izraz je naslednji:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring z izjemnimi izdelki

Obstajajo primeri, v katerih, da v celoti faktor polinomov s prejšnjimi metodami, postane zelo dolg proces.

Zato lahko izraz razvijemo z formulami izjemnih izdelkov in tako postane postopek enostavnejši. Med najpogosteje uporabljanimi izdelki so:

- Razlika dveh kvadratov: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Popoln kvadrat vsote: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Popoln kvadrat razlike: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Razlika med dvema kockama: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Vsota dveh kock: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Primer 1

Faktor (5² - x²)

Rešitev

V tem primeru obstaja razlika dveh kvadratov; zato se uporablja formula izjemnega izdelka:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Primer 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

Rešitev

V tem primeru imamo popoln kvadrat vsote, ker lahko identificiramo dva izraza kvadrat, preostali izraz pa je rezultat množenja dveh s kvadratnim korenom prvega izraza, s kvadratnim korenom drugega pojma..

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Za faktor se izračunata samo kvadratni koreni prvega in tretjega izraza:

√ (16x²) = 4x

. (25²) = 5.

Nato sta oba dobljena izraza ločena z znakom operacije, celoten polinom pa je kvadrat:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Primer 3

Faktor 27a³ - b³

Rešitev

Izraz predstavlja odštevanje, v katerem sta dva faktorja dvignjena na kocko. Za njihovo upoštevanje se uporabi formula pomembnega produkta razlike kocke, ki je:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Tako, da faktoriziramo, se kubični koren vsakega člena binomskega dela ekstrahira in pomnoži s kvadratom prvega izraza, plus produkt prvega z drugim izrazom, plus drugi izraz s kvadratom.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoring z Ruffinijevim pravilom

Ta metoda se uporablja, kadar imate polinom stopnje, ki je večja od dveh, da bi poenostavili izraz za več polinomov manjše stopnje..

Primer 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Rešitev

Najprej poiščite številke, ki so delitelji 12, ki je neodvisen izraz; to so ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 in ± 12.

Nato se x nadomesti s temi vrednostmi, od najnižje do najvišje, zato se določi s katero od vrednosti bo delitev natančna; ostalo mora biti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8. 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

In tako za vsak delilec. V tem primeru so ugotovljeni faktorji za x = -1 in x = 2.

Zdaj je uporabljena Ruffinijeva metoda, po kateri bodo koeficienti izraza razdeljeni med faktorje, ki jih najdemo za delitev. Polinomski izrazi so urejeni od najvišjega do najnižjega eksponenta; v primeru, da manjka izraz s stopnjo, ki sledi v zaporedju, je na njeno mesto postavljen 0.

Koeficienti se nahajajo v shemi, kot je prikazano na naslednji sliki.

Prvi koeficient se zniža in pomnoži z delilnikom. V tem primeru je prvi delitelj -1 in rezultat se postavi v naslednji stolpec. Nato se vrednost koeficienta doda navpično s tem dobljenim rezultatom in rezultat se postavi spodaj. Tako se postopek ponavlja do zadnjega stolpca.

Potem se isti postopek ponovi, toda z drugim delilnikom (ki je 2), ker lahko izraz še vedno poenostavimo.

Tako bo za vsak pridobljeni koren polinom imel izraz (x - a), kjer je "a" vrednost korena:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Po drugi strani pa morajo biti ti izrazi pomnoženi s preostalim Ruffinijevim pravilom 1: 1 in -6, ki so dejavniki, ki predstavljajo oceno. Tako nastali izraz je: (x² + x - 6).

Pridobitev rezultata faktorizacije polinoma po Ruffinijevi metodi je:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Za dokončanje lahko polinom stopnje 2, ki se prikaže v prejšnjem izrazu, ponovno napišemo kot (x + 3) (x-2). Zato je končna razčlenitev:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Reference

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kako naučiti otroke o faktoringu do polinoma.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Osnovna matematika z aplikacijami.
4. Roelse, P. L. (1997). Linearne metode za polinialno faktorizacijo preko končnih polj: teorija in izvedbe. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Obroči in faktorizacija.