Polinomske enačbe (z rešenimi vajami)



The polinomske enačbe so izjava, ki poveča enakost dveh izrazov ali članov, kjer sta vsaj en izraz, ki sestavlja vsako stran enakosti, polinomi P (x). Te enačbe so poimenovane glede na stopnjo njihovih spremenljivk.

Na splošno je enačba trditev, ki vzpostavlja enakost dveh izrazov, kjer v vsaj enem od njih obstajajo neznane količine, ki se imenujejo spremenljivke ali neznanci. Čeprav obstajajo številne vrste enačb, so na splošno razvrščene v dve vrsti: algebraična in transcendentna.

Polinomske enačbe vsebujejo samo algebraične izraze, ki imajo lahko v enačbi eno ali več neznank. Po eksponentu (stopnji) jih lahko razvrstimo v: prvo stopnjo (linearno), drugo (kvadratno), tretjo (kubično), četrto (četverno), večjo ali enako peto in iracionalno..

Indeks

  • 1 Značilnosti
  • 2 Vrste
    • 2.1 Prvi razred
    • 2.2 Druga stopnja
    • 2.3 Razreševalec
    • 2.4 Višji razred
  • 3 Vaje rešene
    • 3.1 Prva vaja
    • 3.2 Druga vaja
  • 4 Reference

Funkcije

Polinomske enačbe so izrazi, ki jih tvori enakost med dvema polinomoma; to je s končnimi vsotami množenja med vrednostmi, ki so neznane (spremenljivke) in fiksnimi številkami (koeficienti), kjer lahko spremenljivke imajo eksponente, njihova vrednost pa je lahko pozitivno celo število, vključno z ničlo.

Eksponenti določajo stopnjo ali tip enačbe. Ta izraz izraza, ki ima najvišjo vrednost eksponenta, predstavlja absolutno stopnjo polinoma.

Polinomske enačbe so znane tudi kot algebraične enačbe, njihovi koeficienti so lahko realni ali kompleksni, številke in spremenljivke pa so neznane številke, ki jih predstavlja črka, na primer: "x".

Če nadomestimo vrednost za spremenljivko "x" v P (x), je rezultat enak nič (0), potem rečemo, da ta vrednost izpolnjuje enačbo (je rešitev) in se na splošno imenuje koren polinoma..

Ko se razvije polinomska enačba, želite najti vse korenine ali rešitve.

Vrste

Obstaja več vrst polinomskih enačb, ki se razlikujejo glede na število spremenljivk in tudi glede na njihovo stopnjo eksponenta..

Polinomske enačbe - kjer je prvi izraz polinom s samo enim neznanim, če je njegova stopnja lahko katero koli naravno število (n) in drugi - nič, lahko izrazimo takole:

an * xn + an-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + a0 * x0 = 0

Kje:

- an, an-1 in a0, so realni koeficienti (številke).

- an drugačen je od nič.

- Izraz n je pozitivno celo število, ki predstavlja stopnjo enačbe.

- x je spremenljivka ali neznana, ki jo je treba poiskati.

Absolutna ali večja stopnja polinomske enačbe je tisti eksponent večje vrednosti med vsemi tistimi, ki tvorijo polinom; na ta način se enačbe razvrstijo kot:

Prvi razred

Polinomske enačbe prve stopnje, znane tudi kot linearne enačbe, so tiste, pri katerih je stopnja (največji eksponent) enaka 1, polinom pa je oblika P (x) = 0; in je sestavljen iz linearnega izraza in neodvisnega izraza. Napisana je takole:

ax + b = 0.

Kje:

- a in b sta realna števila in a. 0.

- ax je linearni izraz.

- b je neodvisen izraz.

Na primer, enačba 13x - 18 = 4x.

Za reševanje linearnih enačb morajo biti vsi izrazi, ki vsebujejo neznano x, posredovani eni strani enakopravnosti in tisti, ki jih ni, se premaknejo na drugo stran, da jo očistijo in dobijo rešitev:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18. 9

x = 2.

Tako dobljena enačba vsebuje eno samo rešitev ali koren, ki je x = 2.

Drugi razred

Polinomske enačbe druge stopnje, znane tudi kot kvadratne enačbe, so tiste, pri katerih je stopnja (največji eksponent) enaka 2, polinom je oblika P (x) = 0 in je sestavljen iz kvadratnega izraza , eno linearno in eno neodvisno. Izražena je na naslednji način:

sekira2 + bx + c = 0.

Kje:

- a, b in c so realna števila in a. 0.

- sekira2 je kvadratni izraz in "a" je koeficient kvadratnega izraza.

- bx je linearni izraz, "b" pa koeficient linearnega izraza.

- c je neodvisen izraz.

Razločljivost

Na splošno je rešitev za to vrsto enačb podana z izbrisom x iz enačbe in ostane na naslednji način, ki se imenuje resolver:

Tam, (b2 - 4ac) se imenuje diskriminantna enačba in ta izraz določa število rešitev, ki jih enačba lahko ima:

- Da (b2 - 4ac) = 0, enačba bo imela enotno rešitev, ki je dvojna; to pomeni, da boste imeli dve enaki rešitvi.

- Da (b2 - 4ac)> 0, enačba bo imela dve različni realni rešitvi.

- Da (b2 - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Na primer, imate enačbo 4x2 + 10x - 6 = 0, da jo razrešimo, najprej identificiramo izraze a, b in c in jo nadomestimo s formulo:

a = 4

b = 10

c = -6.

Obstajajo primeri, v katerih polinomske enačbe druge stopnje nimajo treh izrazov, zato se rešujejo drugače:

- V primeru, da kvadratne enačbe nimajo linearnega izraza (to je b = 0), bo enačba izražena kot sekira2 + c = 0. Da bi ga rešili, se izbriše x2 in kvadratne korenine se uporabljajo v vsakem članu, pri čemer se je treba spomniti, da se upoštevata dva možna znaka, ki ju lahko ima neznano:

sekira2 + c = 0.

x2 = - c. a

Na primer, 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20. 5

x = ± .4

x = ± 2

x1 = 2.

x2 = -2.

- Če kvadratna enačba nima neodvisnega izraza (tj. C = 0), bo enačba izražena kot sekira2 + bx = 0. Da bi jo rešili, moramo v prvem članu izločiti skupni faktor neznanega x; ker je enačba enaka nič, je res, da bo vsaj eden od faktorjev enak 0:

sekira2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Na ta način morate:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na primer: imate enačbo 5x2 + 30x = 0. Prvi dejavnik:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Ustvarita se dva dejavnika, ki sta x in (5x + 30). Šteje se, da bo ena od teh enaka nič in druga rešitev bo dana:

x1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30. 5

x2 = -6.

Velika stopnja

Polinomske enačbe večje stopnje so tiste, ki segajo od tretje stopnje naprej, ki se lahko izrazijo ali rešijo s splošno polinomsko enačbo za katerokoli stopnjo:

an * xn + an-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + a0 * x0 = 0

To se uporablja, ker je enačba s stopnjo, večjo od dveh, rezultat faktorizacije polinoma; to pomeni, da je izraženo kot množenje polinomov stopnje ena ali več, vendar brez dejanskih korenin.

Rešitev te vrste enačb je neposredna, ker bo množenje dveh faktorjev enako nič, če je kateri koli od faktorjev nič (0); zato mora biti vsaka ugotovljena polinomska enačba rešena, pri čemer se vsak izmed njenih faktorjev ujema z ničlo.

Na primer, imate enačbo tretje stopnje (kubični) x3 + x2 +4x + 4 = 0. Da bi ga rešili, morate slediti naslednjim korakom:

- Pogoji so združeni:

x3 + x2 +4x + 4 = 0

(x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

- Okončine so razčlenjene, da dobijo skupni dejavnik neznanega

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- Na ta način dobimo dva faktorja, ki morata biti enaka nič:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Vidimo lahko, da je faktor (x2 + 4) = 0 ne bo imela prave rešitve, medtem ko je faktor (x + 1) = 0 da. Zato je rešitev:

(x + 1) = 0

x = -1.

Rešene vaje

Rešite naslednje enačbe:

Prva vaja

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

Rešitev

V tem primeru je enačba izražena kot množenje polinomov; to pomeni, da je vključeno. Da bi jo rešili, mora biti vsak faktor enak nič:

- 2x2 + 5 = 0, nima rešitve.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Tako dobljena enačba ima dve rešitvi: x = 3 in x = -1.

Druga vaja

x4 - 36 = 0.

Rešitev

Podan je bil polinom, ki ga je mogoče ponovno napisati kot razliko kvadratov in doseči hitrejšo rešitev. Tako ostane enačba:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

Da bi našli rešitev enačb, sta oba faktorja enaka nič:

(x2 + 6) = 0, nima rešitve.

(x2 - 6) = 0

x2 = 6

x = ± .6.

Tako ima začetna enačba dve rešitvi:

x = .6.

x = - .6.

Reference

  1. Andres, T. (2010). Tresure matematične olimpijade. Springer. New York.
  2. Angel, A. R. (2007). Osnovna algebra Pearson Education,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra in projekcijska geometrija. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  5. Castaño, H. F. (2005). Matematika pred izračunom. Univerza v Medellinu.
  6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Priročnik za matematiko za olimpijske priprave. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superiorna algebra I.
  8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.