Koliko rešitev ima kvadratna enačba?



Kvadratna enačba ali enačba druge stopnje ima lahko nič, eno ali dve realni rešitvi, odvisno od koeficientov, ki se pojavijo v omenjeni enačbi..

Če delate na kompleksnih številkah, lahko rečete, da ima vsaka kvadratna enačba dve rešitvi.

Za začetek kvadratne enačbe je enačba oblike ax² + bx + c = 0, kjer so a, b in c realna števila in x je spremenljivka.

Rečeno je, da je x1 rešitev prejšnje kvadratne enačbe, če zamenjava x z x1 zadošča enačbi, to je, če a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Če imate na primer enačbo x²-4x + 4 = 0, potem je x1 = 2 rešitev, ker (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Nasprotno, če je zamenjava x2 = 0, dobimo (0) ²-4 (0) + 4 = 4 in kot 4 then 0 potem x2 = 0 ni rešitev kvadratne enačbe..

Rešitve kvadratne enačbe

Število rešitev kvadratne enačbe lahko razdelimo na dva primera, ki sta:

1.- V realnih številkah

Pri delu z realnimi številkami lahko kvadratne enačbe:

-Nič rešitve: to pomeni, da ni realnega števila, ki bi zadovoljilo kvadratno enačbo. Na primer, enačba, podana z enačbo x² + 1 = 0, ni pravega števila, ki bi zadostilo tej enačbi, ker je oba x² večja ali enaka nič in je 1 večja od nič, tako da bo njegova vsota večja strogo, da nič.

-Ponovna rešitev: obstaja ena sama realna vrednost, ki zadovoljuje kvadratno enačbo. Na primer, edina rešitev enačbe x²-4x + 4 = 0 je x1 = 2.

-Dve različni rešitvi: Obstajata dve vrednosti, ki zadovoljujeta kvadratno enačbo. Na primer, x² + x-2 = 0 ima dve različni rešitvi, ki sta x1 = 1 in x2 = -2.

2.- V kompleksnih številkah

Pri delu s kompleksnimi števili imajo kvadratne enačbe vedno dve rešitvi, ki sta z1 in z2, kjer je z2 konjugat z1. Poleg tega jih je mogoče razvrstiti v:

-Kompleksi: rešitve so v obliki z = p ± qi, kjer sta p in q realna števila. Ta primer ustreza prvemu primeru prejšnjega seznama.

-Čisti kompleksi: je, ko je realni del rešitve enak nič, to pomeni, da ima rešitev obliko z = ± qi, kjer je q realno število. Ta primer ustreza prvemu primeru prejšnjega seznama.

-Kompleksi z namišljenim delom enaki nič: je, ko je kompleksni del rešitve enak nič, to pomeni, da je rešitev realno število. Ta primer ustreza zadnjima dvema primeroma prejšnjega seznama.

Kako se izračunajo rešitve kvadratne enačbe??

Za izračun rešitev kvadratne enačbe uporabimo formulo, imenovano "resolver", ki pravi, da so rešitve enačbe ax² + bx + c = 0 podane z izrazom naslednje slike:

Količina, ki se pojavi znotraj kvadratnega korena, se imenuje diskriminant kvadratne enačbe in je označena s črko "d"..

Kvadratna enačba bo imela:

-Dve pravi rešitvi, če, in samo če, d> 0.

-Resnična rešitev se ponovi, če in samo če je d = 0.

-Ničelne realne rešitve (ali dve kompleksni rešitvi), če in samo če, d<0.

Primeri:

-Rešitve enačbe x² + x-2 = 0 so podane z:

-Enačba x²-4x + 4 = 0 ima ponovljeno rešitev, ki jo poda:

-Rešitve enačbe x² + 1 = 0 so podane z:

Kot lahko vidite v tem zadnjem primeru, je x2 konjugat x1.

Reference

  1. Viri, A. (2016). OSNOVNA MATEMATIKA. Uvod v izračun. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: Kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika za upravo in ekonomijo. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M., in Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
  5. Preciado, C. T. (2005). Tečaj matematike 3o. Uredništvo progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearson Education.