Zgodovinsko ozadje analitične geometrije



The Zgodovinsko ozadje analitične geometrije segajo v 17. stoletje, ko sta Pierre de Fermat in René Descartes opredelila svojo temeljno idejo. Njegov izum je sledil posodobitvi algebre in algebrskemu zapisu Françoisa Vièta.

To polje ima svoje temelje v antični Grčiji, zlasti v delih Apolonija in Euklida, ki so imeli velik vpliv na tem področju matematike..

Bistvena ideja analitične geometrije je, da razmerje med dvema spremenljivkama, tako da je ena funkcija druge, določa krivuljo..

To idejo je prvič razvil Pierre de Fermat. Zaradi tega bistvenega okvira so lahko Isaac Newton in Gottfried Leibniz razvili izračun.

Francoski filozof Descartes je odkril tudi algebraični pristop k geometriji, očitno sam. Descartesovo delo o geometriji se pojavlja v njegovi slavni knjigi Govor metode.

V tej knjigi je navedeno, da kompas in geometrijske konstrukcije ravnih robov vključujejo dodajanje, odštevanje, množenje in kvadratne korenine..

Analitična geometrija predstavlja združitev dveh pomembnih tradicij v matematiki: geometrija kot študija oblike in aritmetika in algebra, ki sta povezani s količino ali številkami. Zato je analitična geometrija proučevanje polja geometrije z uporabo koordinatnih sistemov.

Zgodovina

Ozadje analitične geometrije

Razmerje med geometrijo in algebro se je razvilo skozi zgodovino matematike, čeprav je geometrija dosegla zgodnejšo stopnjo zrelosti..

Grški matematik Euclid je na primer uspel organizirati številne rezultate v svoji klasični knjigi Elementi.

Ampak starodavni grški Apolonij iz Perge je v svoji knjigi napovedal razvoj analitične geometrije Conics. Konico je opredelil kot presečišče stožca in ravnine.

Z uporabo rezultatov Euclida v podobnih trikotnikih in sušenju v krogu je našel odnos, ki ga določajo razdalje od katere koli točke "P" stožnice do dveh pravokotnih linij, glavne osi stožnice in tangente na končni točki osi. Apolonij je uporabil to razmerje za sklepanje temeljnih lastnosti konike.

Kasnejši razvoj koordinatnih sistemov v matematiki se je pojavil šele potem, ko je algebra dozorela zahvaljujoč islamskim in indijskim matematikom..

Dokler niso uporabili renesančno geometrijo za utemeljitev rešitev za algebrske probleme, vendar algebra ni mogla veliko prispevati k geometriji.

Takšna situacija bi se spremenila s sprejetjem priročnega zapisa za algebraične odnose in razvoja koncepta matematične funkcije, ki je bila zdaj možna..

XVI. Stoletje

Konec šestnajstega stoletja je francoski matematik François Viète predstavil prvi sistematični algebrski zapis, ki je uporabil črke, ki predstavljajo številčne količine, tako znane kot neznane..

Razvil je tudi močne splošne metode za delovne algebrske izraze in reševanje algebrskih enačb.

Zaradi tega matematiki niso bili popolnoma odvisni od geometrijskih figur in geometrijske intuicije za reševanje problemov.

Tudi nekateri matematiki so začeli opuščati standardni geometrijski način razmišljanja, po katerem linearne spremenljivke dolžin in kvadratov ustrezajo območjem, kubični pa ustrezajo volumnom..

Prvi korak na tem koraku so bili filozof in matematik René Descartes ter odvetnik in matematik Pierre de Fermat.

Temelj analitične geometrije

Descartes in Fermat sta neodvisno ustanovila analitično geometrijo v letih 1630, s sprejetjem algebre Viète za proučevanje geometrijskih lokusov..

Ti matematiki so spoznali, da je algebra orodje velike moči v geometriji in izumili, kar je danes znano kot analitična geometrija.

Napredek, ki so ga naredili, je bil premagati Viète z uporabo črk, ki predstavljajo razdalje, ki so spremenljive in ne fiksne..

Descartes je uporabil enačbe za proučevanje geometrijsko opredeljenih krivulj in poudaril potrebo po upoštevanju splošnih algebraično-grafičnih krivulj polinomskih enačb v stopinjah "x" in "y"..

Fermat je poudaril, da vsaka povezava med koordinatama "x" in "in" določa krivuljo.

S temi idejami je preoblikoval Apolonijeve izjave o algebrskih izrazih in obnovil nekaj svojih izgubljenih del..

Fermat je navedel, da se lahko vsaka kvadratna enačba v "x" in "y" namesti v standardno obliko enega od stožnic. Kljub temu Fermat ni nikoli objavil svojega dela na tem področju.

Kar je Arhimed rešil z velikimi težavami in za osamljene primere, bi ga lahko po zaslugi njegovega napredka rešil samo Fermat in Descartes in za veliko število krivulj (zdaj znanih kot algebraične krivulje)..

Toda njegove ideje so pridobile splošno sprejetje s prizadevanji drugih matematikov v drugi polovici 17. stoletja.

Matematiki Frans van Schooten, Florimond de Beaune in Johan de Witt so pomagali razširiti Decartesovo delo in dodali pomembno dodatno gradivo.

Vpliv

V Angliji je John Wallis populariziral analitično geometrijo. Uporabil je enačbe za definiranje konike in izpeljevanje njihovih lastnosti. Čeprav je svobodno uporabljal negativne koordinate, je Isaac Newton uporabil dve poševni osi, da razdeli ravnino na štiri kvadrante..

Newton in nemški Gottfried Leibniz sta revolucionirala matematiko konec 17. stoletja, tako da sta neodvisno pokazala moč izračuna.

Newton je pokazal pomen analitičnih metod v geometriji in njeni vlogi pri računanju, ko je trdil, da ima vsaka kocka (ali katera koli algebraična krivulja tretje stopnje) tri ali štiri standardne enačbe za primerne koordinatne osi. S pomočjo Newtona je to leta 1717 dokazal škotski matematik John Stirling.

Analitična geometrija treh in več dimenzij

Čeprav sta oba Descartes in Fermat predlagala uporabo treh koordinat za proučevanje krivulj in površin v vesolju, se je tridimenzionalna analitična geometrija počasi razvijala do leta 1730.

Matematiki Euler, Hermann in Clairaut so izdelali splošne enačbe za cilindre, stožce in površine revolucije.

Euler je na primer uporabil enačbe za prevode v prostoru, da bi preoblikoval splošno kvadratno površino, tako da so njene glavne osi sovpadale z njegovimi koordinatnimi osmi..

Euler, Joseph-Louis Lagrange in Gaspard Monge so naredili analitično geometrijo neodvisno od sintetične geometrije (ni analitična).

Reference

  1. Razvoj analitične geometrije (2001). Pridobljeno iz encyclopedia.com
  2. Zgodovina analitične geometrije (2015). Pridobljeno iz maa.org
  3. Analiza (matematika). Izterjal iz britannica.com
  4. Analitična geometrija. Izterjal iz britannica.com
  5. Descartes in rojstvo analitične geometrije. Izterjana s sciencedirect.com