Sarrusovo pravilo v tem, kaj sestavljajo in vrste determinant



The Sarrusovo pravilo uporablja se za izračun rezultata determinant 3 × 3. Ti se uporabljajo za reševanje linearnih enačb in vedo, ali so združljive.

Združljivi sistemi vam omogočajo lažjo pridobitev rešitve. Uporabljajo se tudi za določanje, ali so nizi vektorjev linearno neodvisni in tvorijo osnovo vektorskega prostora.

Te aplikacije temeljijo na obrnljivosti matrik. Če je matrika pravilna, je njena determinanta drugačna od 0. Če je singularna, je njena determinanta enaka 0. Določila lahko izračunamo le v kvadratnih matrikah..

Za izračun matrik iz katerega koli reda lahko uporabimo Laplaceov izrek. Ta izrek nam omogoča, da poenostavimo matrike visokih dimenzij v vsoti majhnih determinant, ki jih razgradimo iz glavne matrike..

Potrjuje, da je determinanta matrike enaka vsoti produktov vsake vrstice ali stolpca, ki jo določa določena matrika.

To zmanjšuje determinante tako, da determinanta stopnje n postane n determinant n-1. Če to pravilo uporabimo zaporedoma, lahko dobimo determinante dimenzije 2 (2 × 2) ali 3 (3 × 3), kjer je veliko lažje izračunati.

Pravilo Sarrus

Pierre Frederic Sarrus je bil francoski matematik 19. stoletja. Večina njegovih matematičnih razprav temelji na metodah reševanja enačb in izračunu variacij znotraj numeričnih enačb.

V eni izmed njegovih razprav je rešil eno najzahtevnejših ugank mehanike. Da bi rešil probleme zgibnih delov, je Sarrus uvedel preoblikovanje alternativnih pravokotnih gibov v enakomernih krožnih gibih. Ta novi sistem je znan kot mehanizem Sarrus.

Najbolj znana raziskava, ki jo je dal tej matematiki, je bila, da je v članku "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" ("Nova metoda za reševanje enačb") predstavil novo metodo izračuna determinant, ki je bila objavljena v Leto 1833. Ta način reševanja linearnih enačb je znan kot Sarrusovo pravilo.

Pravilo Sarrus omogoča izračunati determinanto matrike 3 × 3, ne da bi bilo treba uporabiti Laplaceov izrek, saj uvaja veliko enostavnejšo in bolj intuitivno metodo. Da bi lahko preverili vrednost pravila Sarrus, vzamemo poljubno matriko dimenzije 3:

Izračun njegove determinante bi bil izdelan s produktom njegovih glavnih diagonal, ki odšteje produkt od inverznih diagonal. To bi bilo naslednje: \ t

Pravilo Sarrus nam omogoča, da dobimo veliko enostavnejšo vizijo pri izračunu diagonal determinante. Poenostavljeno bi bilo z dodajanjem prvih dveh stolpcev h zadnji strani matrike. Na ta način lahko jasneje vidite, katere so vaše glavne diagonale in katere so inverzne, za izračun produkta..

Skozi to sliko lahko vidimo uporabo Sarrusovega pravila, vključimo vrstice 1 in 2, pod grafično predstavitev začetne matrike. Na ta način so glavne diagonale tri diagonale, ki se pojavljajo na prvem mestu.

Tri povratne diagonale so tiste, ki se pojavijo najprej v hrbtu.

Na ta način se diagonale prikažejo bolj vizualno, ne da bi oteževali ločljivost determinante in poskušali ugotoviti, kateri elementi matrike pripadajo vsaki diagonali..

Ko se pojavi na sliki, izberemo diagonale in izračunamo produkt vsake funkcije. Diagonale, ki so prikazane v modri barvi, so tiste, ki se ujemajo. V vsoto teh vrednosti odštejemo vrednost diagonal, ki so prikazani rdeče.

Za lažje stiskanje lahko uporabimo numerični primer, namesto da uporabimo algebraične izraze in pod-izraze.

Če vzamemo katerokoli 3 × 3 matrico, na primer:

Da bi uporabili pravilo Sarrus in ga razrešili bolj vizualno, moramo vključiti vrstice 1 in 2, kot vrstice 4 oziroma 5. Pomembno je, da vrstica 1 ostane na 4. mestu, vrstica 2 pa na 5. mestu. Ker če jih zamenjamo, pravilo Sarrus ne bo učinkovito.

Da bi izračunali determinanto, bi naša matrica izgledala takole:

Za nadaljevanje izračuna pomnožimo elemente glavnih diagonal. Spuščajoče se, ki se začnejo z levo, bodo imele pozitiven znak; medtem ko povratne diagonale, ki so tiste, ki se začnejo na desni, nosijo negativen znak.

V tem primeru bi modri šli s pozitivnim predznakom in rdečimi z negativnim predznakom. Končni izračun pravila Sarrus bi izgledal takole:

Vrste determinant

Določilo dimenzije 1

Če je dimenzija matrike 1, je matrika te oblike: A = (a)

Zato bi bila njena determinanta taka: det (A) = | A | = a

Skratka, determinanta matrike A je enaka absolutni vrednosti matrike A, ki je v tem primeru a.

Določilo dimenzije 2

Če gremo na matrike dimenzije 2, dobimo matrike tipa:

Če je njena determinanta opredeljena kot:

Ločljivost te determinante temelji na množenju njegove glavne diagonale, pri čemer se izdelek odšteje od njegove inverzne diagonale..

Kot mnemonično pravilo lahko uporabimo naslednji diagram, da se spomnimo njegove determinante:

Določilo dimenzije 3

Če je dimenzija matrike 3, bo dobljena matrika tega tipa:

Določilo te matrike bi bilo rešeno s Sarrusovim pravilom na ta način:

Reference

  1. Jenny Olive (1998) Matematika: Vodnik za preživetje študentov. Cambridge University Press.
  2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: 50 najbolj miselno razširjenih teorij matematike. Ivy Press Limited.
  3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
  4. Awol Assen (2013) Študija izračuna determinant matrike 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
  5. Anthony Nicolaides (1994) determinante in matrike. Pass objava.
  6. Jesse Russell (2012) Pravilo Sarrus.
  7. M. Casteleiro Villalba (2004) Uvod v linearno algebro. ESIC Uvodnik.