3 Sistemi linearnih enačb in kako jih rešiti

The linearne enačbe so polinomske enačbe z eno ali več neznankami. V tem primeru neznanci niso povišani na moči, niti se ne pomnožujejo med seboj (v tem primeru je rečeno, da je enačba stopnje 1 ali prve stopnje)..

Enačba je matematična enakost, kjer obstaja en ali več neznanih elementov, ki jih bomo poimenovali neznani ali neznani, če obstaja več kot en. Za rešitev te enačbe je potrebno ugotoviti vrednost neznank.

Linearna enačba ima naslednjo strukturo:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Kje₀, a₁, a₂,..., a_n so realna števila, za katera poznamo njihovo vrednost in se imenujejo koeficienti, b je tudi znano realno število, ki se imenuje neodvisen izraz. In končno so X.₁, X_2,..., X_n ki so znani kot neznanci. To so spremenljivke, katerih vrednost ni znana.

Sistem linearnih enačb je niz linearnih enačb, kjer je vrednost neznank enaka v vsaki enačbi.

Logično je, da reševanje sistema linearnih enačb pripisuje vrednosti neznanim, tako da je mogoče preveriti enakost. To pomeni, da je treba neznanke izračunati tako, da so vse enačbe sistema hkrati izpolnjene. Predstavljamo sistem linearnih enačb, kot sledi

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 kjer a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n itd, resnične številke in neznanke, ki jih je treba rešiti, so X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Vsaka linearna enačba predstavlja črto in zato sistem enačb N linearnih enačb predstavlja N naravnost v prostoru.

Odvisno od števila neznank, ki jih ima vsaka linearna enačba, bo črta, ki predstavlja omenjeno enačbo, predstavljena v drugi dimenziji, to je enačbi z dvema neznankama (npr. 2 · X).₁ + X₂ = 0) predstavlja črto v dvodimenzionalnem prostoru, enačbo s tremi neznankami (npr. 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) bi bilo predstavljeno v tridimenzionalnem prostoru in tako naprej.

Pri reševanju sistema enačb vrednosti X₀,..., X_n ,X_{n + 1} zgodi se, da so to točke med črtami.

Z reševanjem sistema enačb lahko dosežemo različne zaključke. Glede na vrsto rezultata, ki ga dobimo, lahko ločimo med tremi vrstami sistemov linearnih enačb:

1 - nedoločena združljivost

Čeprav morda zveni kot šala, je možno, da bomo pri reševanju sistema enačb prišli do očitnosti stila 0 = 0.

Takšna situacija se zgodi, ko so za sistem enačb neskončne rešitve, kar se zgodi, ko se izkaže, da enačbe v našem sistemu enačb predstavljajo isto črto. To lahko vidimo grafično:

Kot sistem enačb vzamemo:

Z reševanjem dveh enačb z dvema neznankama lahko predstavimo črte v dvodimenzionalni ravnini

Ker lahko vidimo črte z isto, vse točke prve enačbe sovpadajo s točkami druge enačbe, zato ima toliko točk izreza kot točke, ki ima črto, to je neskončnosti..

2 - Nezdružljivo

Ko beremo ime, si lahko predstavljamo, da naš naslednji sistem enačb ne bo imel rešitve.

Če poskušamo rešiti, na primer, ta sistem enačb

Grafično bi bilo:

Če pomnožimo vse izraze druge enačbe, dobimo, da je X + Y = 1 enako 2 · X + 2 · Y = 2. In če je ta zadnji izraz odštet od prve enačbe, dobimo

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Ali kaj je isto

0 = 1

Ko smo v tej situaciji, to pomeni, da so linije, ki so predstavljene v sistemu enačb, vzporedne, kar pomeni, da po definiciji niso nikoli rezane in ni točke rezanja. Ko je sistem predstavljen na ta način, naj bi bilo nedosledno neodvisno.

3. Odločena podpora

Končno pridemo do primera, v katerem ima naš sistem enačb enotno rešitev, v kateri imamo črte, ki se križajo in ustvarjajo presečišče. Poglejmo primer:

Da bi jo rešili, lahko dodamo dve enačbi, tako da dobimo

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Če bomo poenostavili, smo zapustili

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Iz katerega lahko enostavno sklepamo, da je X = 2 in nadomestimo ali X = 2 v kateri koli izvirni enačbi dobimo Y = 3..

Vizualno bi bilo:

Metode reševanja sistemov linearnih enačb

Kot smo videli v prejšnjem oddelku, lahko za sisteme z 2 neznanima in dvema enačbama, ki temeljijo na preprostih operacijah, kot so seštevanje, odštevanje, množenje, delitev in substitucija, rešimo v nekaj minutah. Ampak, če bomo poskusili uporabiti to metodologijo za sisteme z več enačbami in več neznankami, bodo izračuni postali dolgočasni in zlahka se bomo zmotili..

Za poenostavitev izračunov obstaja več načinov reševanja, vendar so nedvomno najbolj razširjene metode Cramerjevo pravilo in izločitev Gauss-Jordana..

Cramerjeva metoda

Da bi pojasnili, kako se ta metoda uporablja, je bistveno vedeti, kakšna je njena matrika in vedeti, kako najti njeno determinanto, naredimo oklepaje za definiranje teh dveh konceptov.

Ena matriko ni nič drugega kot niz številk ali algebrskih simbolov, postavljenih v vodoravne in navpične črte in razporejene v obliki pravokotnika. Za našo temo bomo uporabili matrico kot bolj poenostavljen način izražanja našega sistema enačb.

Poglejmo primer:

To bo sistem linearnih enačb

Ta enostaven sistem enačb, ki ga lahko povzamemo, je delovanje dveh 2 × 2 matrik, ki izhajajo iz matrike 2 × 1..

Prva matrika ustreza vsem koeficientom, druga matrika je neznanke, ki jih je treba rešiti, in matrika, ki se nahaja po enakosti, je identificirana z neodvisnimi členi enačb.

The determinanta je operacija, ki se uporablja za matriko, katere rezultat je dejansko število.

V primeru matrike, ki smo jo našli v prejšnjem primeru, bi bila njena determinanta:

Ko definiramo koncepte matrike in determinante, lahko razložimo iz česa je Cramerjeva metoda.

S to metodo lahko zlahka rešimo sistem linearnih enačb, če sistem ne preseže treh enačb s tremi neznankami, saj je izračun determinant matrike zelo težak za matrike 4 × 4 ali več. V primeru, da imamo sistem z več kot tremi linearnimi enačbami, se priporoča metoda z izločitvijo Gauss-Jordana.

Če nadaljujemo s prejšnjim primerom, moramo s pomočjo Cramerja preprosto izračunati dve determinanti in z njim ugotoviti vrednost naših dveh neznank..

Sistem imamo:

Imamo sistem, ki ga predstavljajo matrike:

Najdena je vrednost X:

Enostavno v izračunu determinante, ki se nahaja v imenovalcu delitve, smo prvo komunico nadomestili z matrico neodvisnih izrazov. In v imenovalcu delitve imamo determinanto naše prvotne matrike.

Izvedemo iste izračune, da najdemo Y, dobimo:

Odprava Gauss-Jordana

Definiramo razširjena matrika matriko, ki izhaja iz sistema enačb, kjer dodamo neodvisne izraze na koncu matrike.

Metoda z izločitvijo Gauss-Jordana je s pomočjo operacij med vrsticami matrike preoblikovati našo razširjeno matriko v veliko enostavnejšo matrico, kjer imam ničle na vseh poljih, razen v diagonali, kjer moram dobiti nekaj. Kot sledi:

Kjer sta X in Y realna števila, ki ustrezata našim neznankam.

Rešimo ta sistem z odpravo Gauss-Jordana:

V spodnjem levem delu naše matrike smo že uspeli dobiti ničlo, naslednji korak je, da dobimo 0 v zgornjem desnem delu..

Dosegli smo 0 v zgornjem levem delu matrike, sedaj pa moramo le diagonalo pretvoriti v tiste in že smo sistem rešili z Gauss-Jordan..

Zato smo prišli do zaključka, da:

Reference

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sistemi linearnih enačb (brez datuma). Izterjano iz uco.es.
4. Sistemi linearnih enačb. Poglavje 7. (nedatirano). Vzpostavljeno iz sauce.pntic.mec.es.
5. Linearna algebra in geometrija (2010/2011). Sistemi linearnih enačb. Poglavje 1. Oddelek za algebru. Univerza v Sevilli. Španija Izterjano iz algebra.us.es.